Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=sinx : а)на отрезке [П/4;2П/3] б)на луче [П/4;+бесконечность) в)на интервале(-3П/2;3П/4) г)на полуинтервале(-П;П/3]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции y = sin(x) на заданных отрезках, нужно проанализировать свойства синусоида и его максимумы и минимумы.

а) На отрезке [П/4; 2П/3]

1. Определим значения функции на краях отрезка:

   • y(П/4) = sin(П/4) = √2 / 2 ≈ 0.707
   • y(2П/3) = sin(2П/3) = √3 / 2 ≈ 0.866

2. Также найдем производную, чтобы выяснить, есть ли критические точки:

   • y' = cos(x).
   • Приравниваем к нулю: cos(x) = 0. Это происходит в точках (П/2 + k·П), где k – целое число. В нашем случае, П/2 входит в отрезок [П/4; 2П/3].

3. Вычислим значение в этой критической точке:

   • y(П/2) = sin(П/2) = 1

Таким образом, на отрезке [П/4; 2П/3]:

• Наибольшее значение: 1 (в x = П/2).
• Наименьшее значение: √2 / 2 (в x = П/4).

б) На луче [П/4; +бесконечность)

Синусоида периодична и колеблется между -1 и 1. Функция y = sin(x) будет иметь наибольшее значение 1 и наименьшее значение -1 на этом луче. Так как луч бесконечен, наибольшее значение будет 1, а наименьшее -1.

в) На интервале (-3П/2; 3П/4)

Сначала определим значения на границах интервала:

• y(-3П/2) = sin(-3П/2) = 1
• y(3П/4) = sin(3П/4) = √2 / 2

Теперь найдем критические точки:

• cos(x) = 0, что дает решения x = П/2 и x = 3П/2.
• П/2 находится в интервале (-3П/2; 3П/4), поэтому проверяем:
  • y(П/2) = sin(П/2) = 1.

Таким образом, на интервале (-3П/2; 3П/4):

• Наибольшее значение: 1 (в x = -3П/2 и x = П/2).
• Наименьшее значение: √2 / 2 (в x = 3П/4).

г) На полуинтервале (-П; П/3)

Случай для поиска значений будет похожим:

1. y(-П) = sin(-П) = 0
2. y(П/3) = sin(П/3) = √3 / 2

Находим критические точки:

• cos(x) = 0, что дает x = -П/2 и x = П/2.
• -П/2 входит в интервал, поэтому проверяем:
  • y(-П/2) = sin(-П/2) = -1.

Таким образом, на полуинтервале (-П; П/3):

• Наибольшее значение: √3 / 2 (в x = П/3).
• Наименьшее значение: -1 (в x = -П/2).

Подведение итогов:

• а) Наименьшее: √2 / 2; Наибольшее: 1.
• б) Наименьшее: -1; Наибольшее: 1.
• в) Наименьшее: √2 / 2; Наибольшее: 1.
• г) Наименьшее: -1; Наибольшее: √3 / 2.

Если есть дополнительные вопросы или просьбы,feel free to ask!