Y = (3x - 1)/x Задания 1 Найти область определения и область значения функции 2 Выяснить симметрию графика функции (чётность, нечётность, перио- дичность) 3. Выяснить периодичность функции 4 Найти точки пересечения графика функции с осями координат, полагая вначале x = 0 а затем решая уравнение y = 0 5 Найти точки разрыва, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты 6 Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции 7 Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба 8 Построить дополнительные точки и график функции по результа- там исследования
Давайте подробно рассмотрим вашу функцию \( y = \frac{3x - 1}{x} \) и ответим на все вопросы шаг за шагом.
1. Область определения и область значения функции
Область определения: Для функции \( y = \frac{3x - 1}{x} \) необходимо, чтобы знаменатель \( x \) не равнялся нулю: \[ x \neq 0 \] Таким образом, область определения функции: \( D(y) = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, x \neq 0 \} \).
Область значения: Рассмотрим поведение функции. Попробуем упростить: \[ y = \frac{3x}{x} - \frac{1}{x} = 3 - \frac{1}{x} \] Когда \( x \) изменяется, \( -\frac{1}{x} \) может принимать любые значения, за исключением нуля, что влияет на значение \( y \). Таким образом, область значения функции: \[ R(y) = \{ y \in \mathbb{R} \,|\, y \neq 3 \} \] (функция не достигает значения 3 при \( x \to \infty \) или \( x \to -\infty \)).
2. Симметрия графика функции
Чтобы выяснить симметрию, проверим на четность и нечетность функции:
- Четность: \( f(-x) = \frac{3(-x) - 1}{-x} = \frac{-3x - 1}{-x} = 3 + \frac{1}{x} \), что не равно \( f(x) \).
- Нечетность: \( f(-x) = 3 + \frac{1}{x} \) не равно \( -f(x) \).
Следовательно, функция не является четной и нечетной. Периодичность отсутствует.
3. Периодичность функции
Поскольку функция не изменяет свое значение через равные интервалы, то периодичность отсутствует.
4. Точки пересечения графика функции с осями координат
С осью X (где \( y = 0 \)): \[ 0 = \frac{3x - 1}{x} \Rightarrow 3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \] Таким образом, точка пересечения с осью X: \( \left( \frac{1}{3}, 0 \right) \).
С осью Y (где \( x = 0 \)): Как мы уже обсудили, функция не определена в нуле.
5. Точки разрыва, асимптоты
Точки разрыва: Функция имеет разрыв в точке \( x = 0 \).
Вертикальная асимптота: При \( x \to 0 \) функция стремится к бесконечности: \[ x = 0 \text{ — вертикальная асимптота.} \]
Горизонтальная асимптота: При \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \): \[ y \to 3. \] Таким образом, горизонтальная асимптота: \( y = 3 \).
6. Интервалы возрастания, убывания и экстремумы
Находим производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(3 - \frac{1}{x}) = \frac{1}{x^2} > 0 \, \text{при} \, x > 0, \quad y' < 0 \, \text{при} \, x < 0. \] Таким образом, функция возрастает на интервале \( (0, +\infty) \) и убывает на интервале \( (-\infty, 0) \). Экстремум отсутствует, так как нет точки, где производная равна нулю.
7. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба
Находим вторую производную: \[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(3 - \frac{1}{x}) = \frac{2}{x^3}. \]
- При \( x > 0 \) (выпуклая область): \( y'' > 0 \).
- При \( x < 0 \) (вогнутая область): \( y'' < 0 \).
Точки перегиба нет, так как \( y'' = 0 \) не выполняется.
8. Построение дополнительных точек и график функции
Чтобы построить график, выберите несколько значений \( x \) (например, \( -1, -0.5, 1, 2 \)) и найдите соответствующие \( y \):
- \( x = -1 \): \( y = 4 \)
- \( x = -0.5 \): \( y = 7 \)
- \( x = 1 \): \( y = 2 \)
- \( x = 2 \): \( y = 2.5 \)
Соберите все точки и постройте график, учитывая вертикальную асимптоту \( x=0 \) и горизонтальную асимптоту \( y=3 \).
Если вам нужно больше информации или разъяснений, не стесняйтесь спрашивать!
