x³+4x²-4x-16=0
Чтобы решить уравнение \( x^3 + 4x^2 - 4x - 16 = 0 \), давайте используем метод подбора корней и разложения.
Подбор корней: Начнём с того, чтобы найти возможные рациональные корни уравнения, используя Теорему о рациональных корнях. Возможные корни могут быть делителями свободного члена (-16), то есть: ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.
Проверяем корни: Начнём с подбора. Подставим \( x = 2 \): \[ 2^3 + 4 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 - 16 = 8 + 16 - 8 - 16 = 0 \] Значит, \( x = 2 \) является корнем уравнения.
Разложение многочлена: Теперь мы можем разделить многочлен на \( x - 2 \) с помощью деления многочлена: \[ x^3 + 4x^2 - 4x - 16 = (x - 2)(Ax^2 + Bx + C) \] После деления мы получим: \[ x^3 + 4x^2 - 4x - 16 = (x - 2)(x^2 + 6x + 8) \]
Решение квадратного уравнения: Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 6x + 8 = 0 \). Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \] Поскольку дискриминант положительный, можно найти корни по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2}{2} \] Корни: \[ x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
Ответ: У нас есть три корня уравнения: \[ x = 2, \quad x = -2, \quad x = -4. \]
Таким образом, полный набор решений для уравнения \( x^3 + 4x^2 - 4x - 16 = 0 \) следующий: \( x = 2, x = -2, x = -4 \). Если у вас есть дополнительные вопросы о решении уравнений, не стесняйтесь спрашивать!
