Сделай чертеж и вычисли площадь фигуры, ограниченной данными линиями: y²=4x и x²=4y

Для начала, давайте определим, какие фигуры задают данные уравнения.

Уравнение \( y^2 = 4x \) описывает параболу, открывающуюся вправо, с фокусом в точке (1, 0).

Уравнение \( x^2 = 4y \) описывает параболу, открывающуюся вверх, с фокусом в точке (0, 1).

Теперь найдем точки пересечения этих парабол. Для этого подставим \( y = \frac{x^2}{4} \) из второго уравнения в первое:

\[ \left(\frac{x^2}{4}\right)^2 = 4x \]

Упрощая уравнение, получаем:

\[ \frac{x^4}{16} = 4x \]

Перемножим на 16, чтобы избавиться от дроби:

\[ x^4 = 64x \]

Переносим все в одну сторону:

\[ x^4 - 64x = 0 \]

Факторизуем это уравнение:

\[ x(x^3 - 64) = 0 \]

Это дает нам \( x = 0 \) или \( x^3 - 64 = 0 \). Следовательно, \( x^3 = 64 \) и \( x = 4 \).

Теперь подставим найденные значения \( x \) в уравнение, чтобы найти соответствующее значение \( y \):

1. При \( x = 0 \): \[ y^2 = 4 \cdot 0 \Rightarrow y = 0 \]

2. При \( x = 4 \): \[ y^2 = 4 \cdot 4 = 16 \Rightarrow y = 4 \text{ или } y = -4 \]

Итак, точки пересечения: \( (0, 0) \), \( (4, 4) \), \( (4, -4) \).

Следующим шагом будет нахождение площади области, ограниченной этими кривыми. Площадь можно вычислить интегрированием. Для этого мы определим верхнюю и нижнюю функции в пределах от 0 до 4:

• В верхней части будет парабола \( y = \frac{x^2}{4} \) (открыта вверх).
• В нижней части - парабола \( y = \sqrt{4x} \) или \( y = -\sqrt{4x} \).

Площадь \( A \) можно вычислить как интеграл:

\[ A = \int_0^4 \left( \frac{x^2}{4} - (-\sqrt{4x}) \right) dx = \int_0^4 \left( \frac{x^2}{4} + 2\sqrt{x} \right) dx \]

Теперь вычислим интеграл по частям:

1. Интеграл от \( \frac{x^2}{4} \):

\[ \int_0^4 \frac{x^2}{4} dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3} \bigg|_0^4 = \frac{1}{4} \cdot \frac{64}{3} = \frac{16}{3} \]

2. Интеграл от \( 2\sqrt{x} \):

\[ \int_0^4 2\sqrt{x} dx = 2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} \bigg|_0^4 = \frac{4}{3} \cdot 8 = \frac{32}{3} \]

Теперь сложим эти результаты:

\[ A = \frac{16}{3} + \frac{32}{3} = \frac{48}{3} = 16 \]

Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна \( 16 \) квадратных единиц.