Найти точку пересечения окружности (x-2)2+(y-3)2=20 и прямой y=x-3

Для нахождения точки пересечения окружности и прямой, сначала запишем уравнения этих фигур.

У нас есть уравнение окружности: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 20 \]

И уравнение прямой: \[ y = x - 3 \]

Теперь подставим уравнение прямой в уравнение окружности. Вместо \(y\) в уравнении окружности подставим \(x - 3\): \[ (x - 2)^2 + ((x - 3) - 3)^2 = 20 \] \[ (x - 2)^2 + (x - 6)^2 = 20 \]

Далее раскроем скобки: \[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \] \[ (x - 6)^2 = x^2 - 12x + 36 \]

Теперь подставим: \[ x^2 - 4x + 4 + x^2 - 12x + 36 = 20 \]

Соберем все слагаемые: \[ 2x^2 - 16x + 40 = 20 \]

Теперь упростим уравнение: \[ 2x^2 - 16x + 20 = 0 \]

Разделим все на 2: \[ x^2 - 8x + 10 = 0 \]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 64 - 40 = 24 \]

Теперь найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 4 \pm \sqrt{6} \]

Таким образом, мы получили два значения \(x\): \[ x_1 = 4 + \sqrt{6}, \quad x_2 = 4 - \sqrt{6} \]

Теперь подставим эти значения назад в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения \(y\):

Для \(x_1\): \[ y_1 = (4 + \sqrt{6}) - 3 = 1 + \sqrt{6} \]

Для \(x_2\): \[ y_2 = (4 - \sqrt{6}) - 3 = 1 - \sqrt{6} \]

Итак, точки пересечения окружности и прямой:

1. \( \left( 4 + \sqrt{6}, 1 + \sqrt{6} \right) \)
2. \( \left( 4 - \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6} \right) \)

Эти точки представляют собой решения задачи. Если у вас будут дополнительные вопросы или потребуется помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!