Равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности. Периметр трапеции равен 312. Найдите АВ.

Чтобы найти длину стороны \( AB \) равнобедренной трапеции \( ABCD \), которую можно вписать в окружность, используем свойство, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Обозначим боковые стороны \( AB \) и \( CD \) как \( x \), тогда:

\[ AD + BC = AB + CD \]

Пусть длины оснований \( AD \) и \( BC \) равны \( a \) и \( b \) соответственно. Исходя из свойства равнобедренной трапеции, где боковые стороны равны, можем написать:

\[ a + b = 2x \]

Зная, что периметр \( P \) равен сумме всех сторон, то:

\[ P = AD + BC + AB + CD = a + b + 2x \]

У нас есть общая формула для периметра:

\[ P = a + b + 2x = 312 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( a + b = 2x \)
2. \( a + b + 2x = 312 \)

Подставим первое уравнение во второе:

\[ 2x + 2x = 312 \]

Сложим одинаковые слагаемые:

\[ 4x = 312 \]

Теперь разделим обе стороны на 4:

\[ x = \frac{312}{4} = 78 \]

Таким образом, длина стороны \( AB \) равна 78.

Ответ: \( AB = 78 \).