Найти уравнение общей хорды окружности (x-1)2+(y-3)2=4, x2+y2-6x-10y+30=0

Чтобы найти уравнение общей хорды двух окружностей, сначала определим уравнения окружностей по данным.

Первая окружность задана уравнением: \[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4. \] Это уравнение показывает, что окружность имеет центр в точке \( C_1(1, 3) \) и радиус \( r_1 = 2 \).

Вторую окружность представлено в общем виде: \[ x^2 + y^2 - 6x - 10y + 30 = 0. \] Для удобства, приведем его к канонической форме. Сначала сгруппируем \( x \) и \( y \): \[ (x^2 - 6x) + (y^2 - 10y) = -30. \] Теперь, выполним полный квадрат для \( x \) и \( y \).

1. Для \( (x^2 - 6x) \) добавим и вычтем \( (6/2)^2 = 9 \): \[ (x - 3)^2 - 9. \]

2. Для \( (y^2 - 10y) \) добавим и вычтем \( (10/2)^2 = 25 \): \[ (y - 5)^2 - 25. \]

Теперь подставим это обратно в уравнение: \[ (x - 3)^2 - 9 + (y - 5)^2 - 25 = -30. \] Соберем все вместе: \[ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 - 34 = -30, \] или упрощенно: \[ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4. \] Это уравнение второй окружности, у которой центр в точке \( C_2(3, 5) \) и радиус \( r_2 = 2 \).

Теперь, чтобы найти уравнение общей хорды, нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через точки, где эти окружности пересекаются. Общая хорда будет перпендикулярна линии, соединяющей центры окружностей \( C_1 \) и \( C_2 \), и будет проходить через середину этой линии.

1. Нахождение середины отрезка \( C_1C_2 \): \[ M\left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right) = M(2, 4). \]

2. Найдем наклон прямой, соединяющей центры \( C_1 \) и \( C_2 \): \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 3}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1. \] Таким образом, угловой коэффициент перпендикулярной линии будет: \[ k_{перпендикулярный} = -1. \]

3. Уравнение прямой в нормальной форме: \[ y - y_0 = k(x - x_0), \] где \( (x_0, y_0) = M(2, 4) \): \[ y - 4 = -1(x - 2). \] Упростим: \[ y - 4 = -x + 2 \quad \Rightarrow \quad x + y - 6 = 0. \]

Таким образом, уравнение общей хорды окружностей: \[ x + y - 6 = 0. \] Это и есть искомое уравнение.