Указать все первообразные корни степе- ни 24 из 1.

Чтобы найти все первообразные корни степени 24 из 1, мы используем комплексные числа и свойства корней. Первоначально, первообразные корни степени \( n \) из 1 имеют вид:

\[ z_k = e^{2\pi i k / n} \]

где \( k \) принимает значения от 0 до \( n-1 \). В нашем случае \( n = 24 \), поэтому формула будет:

\[ z_k = e^{2\pi i k / 24} \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, 23) \]

Теперь вычислим все корни:

1. Для \( k = 0 \): \[ z_0 = e^{0} = 1 \]

2. Для \( k = 1 \): \[ z_1 = e^{2\pi i / 24} = e^{\pi i / 12} \]

3. Для \( k = 2 \): \[ z_2 = e^{2\pi i \cdot 2 / 24} = e^{\pi i / 6} \]

4. Для \( k = 3 \): \[ z_3 = e^{2\pi i \cdot 3 / 24} = e^{\pi i / 4} \]

5. Для \( k = 4 \): \[ z_4 = e^{2\pi i \cdot 4 / 24} = e^{\pi i / 3} \]

6. Для \( k = 5 \): \[ z_5 = e^{2\pi i \cdot 5 / 24} = e^{5\pi i / 12} \]

7. Для \( k = 6 \): \[ z_6 = e^{2\pi i \cdot 6 / 24} = e^{\pi i / 2} \]

8. Для \( k = 7 \): \[ z_7 = e^{2\pi i \cdot 7 / 24} = e^{7\pi i / 12} \]

9. Для \( k = 8 \): \[ z_8 = e^{2\pi i \cdot 8 / 24} = e^{2\pi i / 3} \]

10. Для \( k = 9 \): \[ z_9 = e^{2\pi i \cdot 9 / 24} = e^{3\pi i / 4} \]

11. Для \( k = 10 \): \[ z_{10} = e^{2\pi i \cdot 10 / 24} = e^{5\pi i / 6} \]

12. Для \( k = 11 \): \[ z_{11} = e^{2\pi i \cdot 11 / 24} = e^{11\pi i / 12} \]

13. Для \( k = 12 \): \[ z_{12} = e^{2\pi i \cdot 12 / 24} = e^{2\pi i} = 1 \]

(Для \( k = 12 \) корень совпадает с \( z_0 \), поэтому продолжаем до 23)

14. Для \( k = 13 \): \[ z_{13} = e^{2\pi i \cdot 13 / 24} = e^{13\pi i / 12} \]

15. Для \( k = 14 \): \[ z_{14} = e^{2\pi i \cdot 14 / 24} = e^{7\pi i / 6} \]

16. Для \( k = 15 \): \[ z_{15} = e^{2\pi i \cdot 15 / 24} = e^{5\pi i / 4} \]

17. Для \( k = 16 \): \[ z_{16} = e^{2\pi i \cdot 16 / 24} = e^{4\pi i / 3} \]

18. Для \( k = 17 \): \[ z_{17} = e^{2\pi i \cdot 17 / 24} = e^{17\pi i / 12} \]

19. Для \( k = 18 \): \[ z_{18} = e^{2\pi i \cdot 18 / 24} = e^{3\pi i / 2} \]

20. Для \( k = 19 \): \[ z_{19} = e^{2\pi i \cdot 19 / 24} = e^{19\pi i / 12} \]

21. Для \( k = 20 \): \[ z_{20} = e^{2\pi i \cdot 20 / 24} = e^{5\pi i / 3} \]

22. Для \( k = 21 \): \[ z_{21} = e^{2\pi i \cdot 21 / 24} = e^{7\pi i / 4} \]

23. Для \( k = 22 \): \[ z_{22} = e^{2\pi i \cdot 22 / 24} = e^{11\pi i / 6} \]

24. Для \( k = 23 \): \[ z_{23} = e^{2\pi i \cdot 23 / 24} = e^{23\pi i / 12} \]

Таким образом, все 24 первообразных корня из 1 представлены в виде комплексных чисел:

\[ z_k \quad (k = 0, 1, \ldots, 23) \]

Каждое из этих чисел имеет модуль 1 и равномерно распределено на окружности радиусом 1 в комплексной плоскости.