1/(х-1) ^2+2/х-1-3=0 сделать замену на t
Чтобы решить уравнение \( \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-1} - 3 = 0 \) с помощью замены \( t \), начнем с определения замены. Давайте введем новую переменную:
\[ t = \frac{1}{x-1} \]
Теперь выразим \( \frac{1}{(x-1)^2} \) через \( t \):
\[ \frac{1}{(x-1)^2} = t^2 \]
А \( \frac{2}{x-1} \) будет:
\[ \frac{2}{x-1} = 2t \]
Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:
\[ t^2 + 2t - 3 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы корней:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \).
Подставим значения:
\[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \]
Это упростится до:
\[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
Получаем два значения для \( t \):
- \( t = \frac{2}{2} = 1 \)
- \( t = \frac{-6}{2} = -3 \)
Теперь вспомним, что \( t = \frac{1}{x-1} \). Так что мы можем найти значения \( x \):
- Если \( t = 1 \):
\[ \frac{1}{x-1} = 1 \Rightarrow x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2 \]
- Если \( t = -3 \):
\[ \frac{1}{x-1} = -3 \Rightarrow x - 1 = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3} \]
Таким образом, у уравнения есть два решения:
\[ x = 2 \quad \text{и} \quad x = \frac{2}{3} \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!
