Диагональ осевого сечения цилиндра равна 4√3, а угол между диагональю и плоскостью основания равен 45°. Найти площадь боковой поверхности

Для решения этой задачи начнем с анализа данных.

Дано:

• Диагональ осевого сечения цилиндра \(d = 4\sqrt{3}\).
• Угол между диагональю и плоскостью основания \(\alpha = 45^\circ\).

Давайте сначала узнаем, что такое осевое сечение цилиндра. Оно представляет собой прямоугольник, где одна сторона — это высота цилиндра \(h\), а другая — диаметр основания цилиндра \(D\).

Из определения диагонали прямоугольника мы знаем, что:

\[ d = \sqrt{D^2 + h^2} \]

Учитывая угол \(\alpha\), мы можем выразить высоту и диаметр через диагональ. Угловые соотношения показывают, что:

\[ h = d \cdot \sin(\alpha) \]

\[ D = d \cdot \cos(\alpha) \]

Подставим \(\alpha = 45^\circ\), тогда \(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Рассчитаем высоту и диаметр:

\[ h = 4\sqrt{3} \cdot \sin(45^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6} \]

\[ D = 4\sqrt{3} \cdot \cos(45^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6} \]

Так как диаметр \(D = 2r\), где \(r\) — радиус основания, мы можем выразить радиус:

\[ r = \frac{D}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6} \]

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра \(S_b\), которая вычисляется по формуле:

\[ S_b = 2\pi r h \]

Подставим значения:

\[ S_b = 2\pi \cdot \sqrt{6} \cdot (2\sqrt{6}) = 2\pi \cdot \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} = 2\pi \cdot 12 = 24\pi \]

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна \(24\pi\).