9. Даны координаты вершин треугольника АВС: A(-6; 1), B(2; 4), С (2; -2). Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите высоту, проведенную из вершины А
Чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, нужно выяснить длины его сторон. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \):
\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]
Теперь подставим координаты точек A(-6; 1), B(2; 4) и C(2; -2).
- Найдем длину стороны AB:
\[ AB = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \]
- Найдем длину стороны AC:
\[ AC = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \]
- Найдем длину стороны BC:
\[ BC = \sqrt{(2 - 2)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + (4 + 2)^2} = \sqrt{0 + 6^2} = \sqrt{36} = 6 \]
Теперь сравним длины сторон:
- Длина AB = \( \sqrt{73} \)
- Длина AC = \( \sqrt{73} \)
- Длина BC = 6
Поскольку AB = AC, треугольник ABC является равнобедренным.
Теперь найдем высоту, проведенную из вершины A. Находим координаты точки C(2; -2) и B(2; 4) и определим координаты середины отрезка BC, так как высота из вершины A будет перпендикулярна основанию BC.
Координаты середины M отрезка BC:
\[ M_x = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{2 + 2}{2} = 2 \] \[ M_y = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Таким образом, M(2; 1).
Теперь найдем длину высоты AH, используя координаты точки A(-6; 1) и M(2; 1). Высота AH будет равна разности по координате x:
\[ AH = |x_A - M_x| = |-6 - 2| = | -8 | = 8 \]
Следовательно, высота, проведенная из вершины A, равна 8.
Таким образом, треугольник ABC равнобедренный, и высота, проведенная из вершины A, составляет 8.
