Алёша Попович сказал у змея Горыныча больше трёх голов Добрыня Никитич сказал у змея Горыныча больше четырёх голов Илья муромец сказал у змея Горыныча больше пяти голов князь…

Давайте проанализируем утверждения каждого из героев:

1. Алёша Попович сказал, что у Змея Горыныча больше трёх голов.
2. Добрыня Никитич сказал, что у Змея Горыныча больше четырёх голов.
3. Илья Муромец сказал, что у Змея Горыныча больше пяти голов.
4. Князь киевский сказал, что у Змея Горыныча больше шести голов.

Из условия мы знаем, что только один из них говорит правду. Это значит, что остальные трое лгут.

Рассмотрим каждое утверждение:

1. Если правдиво утверждение Алёши (больше 3 голов), тогда Добрыня и Илья тоже должны быть правы, что невозможно, так как только один утверждение должно быть правдивым.
2. Если правдиво утверждение Добрыни (больше 4 голов), то Алёша лжёт (это подходит), но тогда Илья тоже будет прав, что недопустимо.
3. Если правдиво утверждение Ильи (больше 5 голов), тогда оба Алёша и Добрыня начинают лгать, однако это снова ведет к тому, что есть два правдивых утверждения, что недопустимо.
4. Если утверждение князя (больше 6 голов) правдиво, тогда все предыдущие тоже должны быть лживыми, что соответствует условию.

Таким образом, мы можем сделать вывод: если правду говорит князь, то у Змея Горыныча 7 или более голов. Это соответствует всем условиям задачи.

Ответ: у Змея Горыныча 7 голов.