При перемножении трёх одинаковых одночленов P стандартного вида получили −125a³b¹⁵ .Каким может быть одночлен P, если в буквенной части переменные у него записаны в алфавитном порядке? Укажите все возможные варианты.
Чтобы решить задачу, начнем с того, что нам дано произведение трёх одинаковых одночленов \( P \) в стандартном виде, равное \( -125 a^3 b^{15} \).
Запишем одночлен \( P \) в общем виде:
\[ P = k \cdot a^m \cdot b^n \]
где \( k \) — коэффициент, \( m \) и \( n \) — степени переменных \( a \) и \( b \), соответственно.
При перемножении трёх одинаковых одночленов \( P \) получается:
\[ P^3 = (k \cdot a^m \cdot b^n)^3 = k^3 \cdot a^{3m} \cdot b^{3n} \]
Это выражение должно быть равно \( -125 a^3 b^{15} \).
Теперь сравним коэффициенты и степени переменных:
Для коэффициента: \[ k^3 = -125 \] Отсюда \( k = -5 \), так как \( (-5)^3 = -125 \).
Для степени \( a \): \[ 3m = 3 \implies m = 1 \]
Для степени \( b \): \[ 3n = 15 \implies n = 5 \]
Теперь подставим значения \( k \), \( m \) и \( n \) обратно в выражение для \( P \):
\[ P = -5 \cdot a^1 \cdot b^5 = -5ab^5 \]
Так как в условии задачи сказано, что переменные должны быть записаны в алфавитном порядке, то одночлен \( P \) будет:
\[ P = -5ab^5 \]
Обратите внимание, что поскольку одночлен \( P \) должен быть одинаковым при перемножении, других вариантов для \( P \) нет, поскольку мы учитываем строгое следование алфавитному порядку переменных. Таким образом, единственный возможный вариант одночлена \( P \) — это:
\[ P = -5ab^5 \]
