22. Постройте график функиии $y=\left|x^{2}+6 x+5\right|$ и определите, при каких знячениях $m$ прямая $y=m$ имсет с графиком ровно четыре общие точки.
Для начала, давайте проанализируем функцию \( y = |x^2 + 6x + 5| \). Сначала найдем функцию без абсолютного значения:
\[ y = x^2 + 6x + 5. \]
Эта функция — квадратная, и ее график представляет собой параболу. Чтобы понять, как она выглядит, найдем её вершину и корни.
- Найдем корни: Решаем квадратное уравнение \( x^2 + 6x + 5 = 0 \).
Используя формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1, b = 6, c = 5 \).
Вычисляем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16. \]
Теперь находим корни:
\[ x_1 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 + 4}{2} = -1, \] \[ x_2 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 - 4}{2} = -5. \]
Итак, у функции есть два корня: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -5 \).
- Построим график:
Парабола направлена вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный. Вершина параболы находится по формуле:
\[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3. \]
Подставив \( x_v \) в уравнение функции, находим значение в вершине:
\[ y_v = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4. \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \((-3, -4)\).
Теперь, так как функция является абсолютной, область, где \( y < 0 \), будет отражена вверх, и на графике будет только положительное значение:
- На интервале от \( -5 \) до \( -1 \) (между корнями) график будет выглядеть как \( -y \) (отражение вниз) и будет пересекаться с осью \( y \) в точке \(-4\).
- За пределами этих корней функция принимает значения от \( 0 \) и вверх.
- Определим значения \( m \):
Теперь посмотрим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) пересечет график функции ровно в четырёх точках.
- Прямая будет иметь ровно четыре пересечения с \( |x^2 + 6x + 5| \) в том случае, если она проходит через область между двумя экстремумами, т.е. где \( y < 0 \). Это случится, если \( m \) находится между \( -4 \) (значение в вершине) и \( 0 \) (минимум, учитывающий отражение).
Таким образом, чтобы прямая \( y = m \) имела ровно четыре общие точки с графиком, необходимо, чтобы:
\[ -4 < m < 0. \]
Теперь вы можете построить функцию и проверить пересечения для значений \( m \) в этом интервале.
