Даны векторы |a|= 3,|в|=4, (a,b) = 120°. Постройте вектор С= 2a— 1, 5b. Найдите его длину.
Для решения задачи нужно сначала найти векторы \( a \) и \( b \), а затем воспользоваться ими для построения вектора \( C \).
Определение векторов:
- Даны длины векторов \( |a| = 3 \) и \( |b| = 4 \).
- Угол между ними \( (a, b) = 120^\circ \).
Найдем координаты векторов: Мы можем задать вектора в декартовой системе координат. Предположим, что вектор \( a \) направлен вдоль оси \( x \): \[ a = (3, 0) \] Вектор \( b \) будет находиться под углом \( 120^\circ \) относительно \( a \). В его координатах это можно выразить через длину и угол: \[ b = (|b| \cdot \cos(120^\circ), |b| \cdot \sin(120^\circ)) \] Подставляем значения: \[ b = (4 \cdot \cos(120^\circ), 4 \cdot \sin(120^\circ)) = (4 \cdot -0.5, 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = (-2, 2\sqrt{3}) \]
Построение вектора \( C \): Теперь можно найти вектор \( C = 2a - 1.5b \). Сначала найдем \( 2a \): \[ 2a = 2 \cdot (3, 0) = (6, 0) \] Теперь найдем \( 1.5b \): \[ 1.5b = 1.5 \cdot (-2, 2\sqrt{3}) = (-3, 3\sqrt{3}) \] Теперь можем найти \( C \): \[ C = (6, 0) - (-3, 3\sqrt{3}) = (6 + 3, 0 - 3\sqrt{3}) = (9, -3\sqrt{3}) \]
Находим длину вектора \( C \): Длина вектора рассчитывается по формуле: \[ |C| = \sqrt{C_x^2 + C_y^2} = \sqrt{9^2 + (-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 + 27} = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \]
Таким образом, длина вектора \( C \) равна \( 6\sqrt{3} \).
