Решите неравенство а) (x^4 - 1)*(x^2 + 11) > 0
Решение неравенства \((x^4 - 1)(x^2 + 11) > 0\) требует анализа произведения двух множителей.
Разложим первый множитель \(x^4 - 1\): \[ x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1). \] Кроме того, \(x^2 - 1\) можно разложить на множители: \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1). \] В итоге, \(x^4 - 1\) можно записать так: \[ x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1). \]
Второй множитель, \(x^2 + 11\), всегда положителен, так как \(x^2\) — неотрицательное число и 11 — положительное число. Таким образом, этот множитель не влияет на знак всего выражения.
Теперь наше неравенство можно переписать как: \[ (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) > 0. \]
- Определим точки, в которых произведение равно нулю:
- \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
- \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
- \(x^2 + 1 = 0\) не имеет действительных решений, так как \(x^2 + 1\) всегда положительно.
Таким образом, критические точки для неравенства — это \(x = -1\) и \(x = 1\).
Построим знаковую прямую и определим знаки в интервалах:
- Интервал \((- \infty, -1)\): выбираем \(x = -2\): \(((-2) - 1)((-2) + 1) > 0 \Rightarrow (-3)(-1) > 0\) — положительный знак.
- Интервал \((-1, 1)\): выбираем \(x = 0\): \((0 - 1)(0 + 1) < 0 \Rightarrow (-1)(1) < 0\) — отрицательный знак.
- Интервал \((1, +\infty)\): выбираем \(x = 2\): \((2 - 1)(2 + 1) > 0 \Rightarrow (1)(3) > 0\) — положительный знак.
Соберем результаты:
- Для интервала \((- \infty, -1)\) знак положительный.
- Для интервала \((-1, 1)\) знак отрицательный.
- Для интервала \((1, +\infty)\) знак положительный.
Итак, неравенство \((x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) > 0\) выполняется для интервалов: \[ (-\infty, -1) \cup (1, +\infty). \]
Ответ: \(x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\).
