Найти косинус угла между векторами АВ и СD A(0;-3;4) C(10;-2;3) B(5;-1;2) D(0;-2;-5)

Чтобы найти косинус угла между векторами АВ и СD, нужно сначала определить сами векторы.

Вектор АВ можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (5 - 0, -1 - (-3), 2 - 4) = (5, 2, -2) \]

Аналогично, для вектора СD: \[ \overrightarrow{CD} = D - C = (0 - 10, -2 - (-2), -5 - 3) = (-10, 0, -8) \]

Теперь нам нужно рассчитать скалярное произведение этих векторов и их длины. Скалярное произведение векторов определяется по формуле: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = A_x \cdot C_x + A_y \cdot C_y + A_z \cdot C_z \] Для наших векторов: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 5 \cdot (-10) + 2 \cdot 0 + (-2) \cdot (-8) = -50 + 0 + 16 = -34 \]

Теперь найдем длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\): \[ ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{5^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4 + 4} = \sqrt{33} \] \[ ||\overrightarrow{CD}|| = \sqrt{(-10)^2 + 0^2 + (-8)^2} = \sqrt{100 + 0 + 64} = \sqrt{164} \]

Теперь мы можем найти косинус угла между этими векторами, используя формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{||\overrightarrow{AB}|| \cdot ||\overrightarrow{CD}||} \] Подставим найденные значения: \[ \cos(\theta) = \frac{-34}{\sqrt{33} \cdot \sqrt{164}} \]

Теперь подставим длины векторов: \[ \sqrt{33} \cdot \sqrt{164} = \sqrt{33 \cdot 164} = \sqrt{5412} \]

Следовательно: \[ \cos(\theta) = \frac{-34}{\sqrt{5412}} \]

Таким образом, косинус угла между векторами АВ и СD равен \(\frac{-34}{\sqrt{5412}}\).