Найдите значения k и t, при которых следующие векторы коллинеарны: m {15; k; 1} и n {18; 12; t}.
Чтобы определить значения \( k \) и \( t \), при которых векторы \( \mathbf{m} = \{15; k; 1\} \) и \( \mathbf{n} = \{18; 12; t\} \) коллинеарны, необходимо воспользоваться принципом пропорциональности их координат. Векторы коллинеарны, если существует число \( \lambda \), такое что:
\[ \mathbf{m} = \lambda \mathbf{n} \]
Это означает, что приравниваем координаты векторов:
- \( 15 = \lambda \cdot 18 \)
- \( k = \lambda \cdot 12 \)
- \( 1 = \lambda \cdot t \)
Решим первое уравнение для \( \lambda \):
\[ \lambda = \frac{15}{18} = \frac{5}{6} \]
Теперь подставим найденное значение \( \lambda \) в второе уравнение для нахождения \( k \):
\[ k = \lambda \cdot 12 = \frac{5}{6} \cdot 12 = 10 \]
Теперь подставляем \( \lambda \) в третье уравнение для нахождения \( t \):
\[ 1 = \lambda \cdot t \implies t = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\frac{5}{6}} = \frac{6}{5} \]
Итак, значения \( k \) и \( t \):
\[ k = 10, \quad t = \frac{6}{5} \]
Векторы будут коллинеарны при \( k = 10 \) и \( t = \frac{6}{5} \).
