5. На плоскости даны точки: А(1, —-2), В(2,1), С(3,2), D(-2,3). До кажите, что АВ и АС — базис. Разложите вектор СД по этому базису. 6. Вектор 2 составляет осями координат равные…

5. Чтобы доказать, что векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) образуют базис в плоскости, нужно показать, что они линейно независимы.

Сначала найдем векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \): \[ \vec{AB} = B - A = (2 - 1, 1 - (-2)) = (1, 3) \] \[ \vec{AC} = C - A = (3 - 1, 2 - (-2)) = (2, 4) \]

Теперь проверим, линейно ли независимы векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \). Если существует скаляр \( k \), такой что \( \vec{AC} = k \cdot \vec{AB} \), то это будет означать зависимость. Рассмотрим на координатах: \[ (2, 4) = k \cdot (1, 3) \] Это дает нам систему уравнений:

1. \( 2 = k \)
2. \( 4 = 3k \)

Подставим \( k = 2 \) во второе уравнение: \[ 4 = 3 \cdot 2 = 6 \] Получаем противоречие, следовательно, векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) линейно независимы и образуют базис.

Теперь разложим вектор \( \vec{CD} \) по этому базису. Сначала найдем вектор \( \vec{CD} \): \[ \vec{CD} = D - C = (-2 - 3, 3 - 2) = (-5, 1) \]

Предположим, что \( \vec{CD} = x \cdot \vec{AB} + y \cdot \vec{AC} \): \[ (-5, 1) = x(1, 3) + y(2, 4) \]

Это приводит нас к системе уравнений:

1. \( -5 = x + 2y \)
2. \( 1 = 3x + 4y \)

Решим первую уравнение относительно \( x \): \[ x = -5 - 2y \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение: \[ 1 = 3(-5 - 2y) + 4y \] \[ 1 = -15 - 6y + 4y \] \[ 1 = -15 - 2y \] \[ 2y = -16 \Rightarrow y = -8 \]

Подставим \( y \) обратно для нахождения \( x \): \[ x = -5 - 2(-8) = -5 + 16 = 11 \]

Таким образом, разложение вектора \( \vec{CD} \) по базису \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) выглядит так: \[ \vec{CD} = 11 \cdot \vec{AB} - 8 \cdot \vec{AC} \]

6. Чтобы найти координаты вектора \( t \), зная, что угол между ним и осями координат равен острым углам, можно использовать одну из тригонометрических функций (например, синус или косинус). Пусть длина вектора равна \( |t| = 2\sqrt{3} \). Поскольку угол острый, координаты могут быть записаны как: \[ t = (|t| \cdot \cos \alpha, |t| \cdot \sin \alpha, 0) \] Для находки конкретных координат, необходимо определить \( \alpha \). Если, например, \( \alpha = 30^\circ \), то: \[ t = (2\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ, 2\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ, 0) = (2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}, 0) = (3, \sqrt{3}, 0) \] Поэтому координаты вектора могут варьироваться в зависимости от угла.

7. Зная вершину \( A(2, -5, 3) \) и векторы \( \vec{AB} = (4, 1, 2) \) и \( \vec{BC} = (3, -2, 5) \), мы можем найти остальные вершины.

Вершину \( B \) можно найти так: \[ B = A + \vec{AB} = (2 + 4, -5 + 1, 3 + 2) = (6, -4, 5) \]

Теперь найдем вершину \( C \): \[ C = B + \vec{BC} = (6 + 3, -4 - 2, 5 + 5) = (9, -6, 10) \]

Теперь можно найти сторону \( CA \): \[ CA = C - A = (9 - 2, -6 + 5, 10 - 3) = (7, -1, 7) \]

Таким образом, вершины \( B(6, -4, 5) \) и \( C(9, -6, 10) \), а сторона \( CA = (7, -1, 7) \).

8. Для нахождения разложения вектора \( \vec{v} = (11, 2, 5) \) по базису \( \vec{p} = (3, 2, 1) \), \( \vec{q} = (-1, 1, -2) \), \( \vec{t} = (2, 1, -3) \), предположим: \[ \vec{v} = x \cdot \vec{p} + y \cdot \vec{q} + z \cdot \vec{t} \]

Это дает систему уравнений: \[ 11 = 3x - y + 2z \quad (1) \] \[ 2 = 2x + y + z \quad (2) \] \[ 5 = x - 2y - 3z \quad (3) \]

Решите эту систему уравнений через подстановку или метод Гаусса. Например, из второго уравнения найдите \( y \): \[ y = 2 - 2x - z \] И подставьте в первое и третье уравнения, чтобы выразить \( x \) и \( z \) через \( y \). После получения всех переменных вы сможете выразить \( \vec{v} \) через \( \vec{p}, \vec{q} \) и \( \vec{t} \).