sin(п/6-2)-cos(п/3+2) упростить выражение

Давайте упростим данное выражение - sin(π/6 - 2) - cos(π/3 + 2).

Начнем с преобразования каждого тригонометрического выражения.

1. Рассмотрим sin(π/6 - 2). Для упрощения мы можем использовать формулу синуса разности: \[ \sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b) \] Здесь \(a = \frac{\pi}{6}\) и \(b = 2\).

   Сначала найдем значения:

   • \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\)
   • \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

   Теперь подставим в формулу: \[ \sin(\frac{\pi}{6} - 2) = \sin(\frac{\pi}{6})\cos(2) - \cos(\frac{\pi}{6})\sin(2) \] Получаем: \[ = \frac{1}{2}\cos(2) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2) \]

2. Теперь рассмотрим cos(π/3 + 2). Мы используем формулу косинуса суммы: \[ \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \] Здесь \(a = \frac{\pi}{3}\) и \(b = 2\).

   Посчитаем значения:

   • \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\)
   • \(\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

   Подставим в формулу: \[ \cos(\frac{\pi}{3} + 2) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(2) - \sin(\frac{\pi}{3})\sin(2) \] Получаем: \[ = \frac{1}{2}\cos(2) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2) \]

Теперь давайте подставим оба результата в исходное выражение: \[ \sin(\frac{\pi}{6} - 2) - \cos(\frac{\pi}{3} + 2) = \left( \frac{1}{2}\cos(2) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2) \right) - \left( \frac{1}{2}\cos(2) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2) \right) \]

Обратите внимание, что обе части одинаковы. Поэтому, окончательно упрощая, мы получаем: \[ = 0 \]

Таким образом, выражение sin(π/6 - 2) - cos(π/3 + 2) упрощается до 0.