sin(п/6-2)-cos(п/3+2) упростить выражение через фсу

Давайте упростим выражение \( \sin\left(\frac{\pi}{6} - 2\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + 2\right) \) с использованием тригонометрических свойств и значений.

Сначала найдем значения тригонометрических функций для углов \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{\pi}{3}\):

1. \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\)
2. \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\)

Теперь упростим каждую из частей.

Упрощение \(\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2\right)\)

Используем формулу разности синуса:

\[ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \]

В нашем случае \(a = \frac{\pi}{6}\) и \(b = 2\). Применим:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} - 2\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos(2) - \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin(2) \]

Теперь подставим известные значения:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}, \quad \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, получаем:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} - 2\right) = \frac{1}{2} \cos(2) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2) \]

Упрощение \(-\cos\left(\frac{\pi}{3} + 2\right)\)

Используем формулу суммы косинуса:

\[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \]

В данной ситуации \(a = \frac{\pi}{3}\) и \(b = 2\):

\[ -\cos\left(\frac{\pi}{3} + 2\right) = -\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos(2) - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin(2)\right) \]

Подставляем значения:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \]

Итак, получаем:

\[ -\cos\left(\frac{\pi}{3} + 2\right) = -\left(\frac{1}{2} \cos(2) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2)\right) = -\frac{1}{2} \cos(2) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2) \]

Объединение результатов

Теперь соберем оба выражения:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} - 2\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + 2\right) = \left(\frac{1}{2} \cos(2) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2)\right) + \left(-\frac{1}{2} \cos(2) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2)\right) \]

Теперь видим, что \(\frac{1}{2} \cos(2)\) и \(-\frac{1}{2} \cos(2)\) взаимно уничтожатся. Остаётся:

\[ -\frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2) = 0 \]

Таким образом, итоговое значение выражения:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} - 2\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + 2\right) = 0 \]

Если у вас есть другие вопросы или темы для обсуждения, не стесняйтесь задавать!