Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система уравнений  |x − 100| + |y − 100| = 24, y − ax + 10a = 10, имеет ровно одно решение.

Давайте разберемся с данной системой уравнений, чтобы найти наибольшее значение параметра \( a \), при котором она имеет ровно одно решение.

Первая часть системы — это уравнение с модульной функцией: \[ |x - 100| + |y - 100| = 24. \] Это уравнение описывает рамку (ромб), центрированную в точке (100, 100) с размерами 24 по оси \( x \) и \( y \). Соответственно, углы этого ромба будут находиться в точках:

• (76, 100)
• (124, 100)
• (100, 76)
• (100, 124)

Вторая часть системы — это линейное уравнение: \[ y - ax + 10a = 10. \] Перепишем его в стандартном виде: \[ y = ax - 10a + 10. \]

Теперь нам нужно понять, при каких значениях параметра \( a \) прямая \( y = ax - 10a + 10 \) касается ромба. Две линии касаются, когда у них есть ровно одна общая точка.

Для этого мы можем анализировать условия касания. Обычно график линейной функции пересекает график модульной функции в максимум двух точках, но для касания нам нужно обеспечить, чтобы прямая касалась ромба именно в одной из его сторон.

Ромб, описываемый первым уравнением, имеет границы, которые являются прямыми, заданными уравнениями:

1. \( y = -x + 124 \) (верхняя часть)
2. \( y = x - 76 \) (нижняя часть)
3. \( y = -x + 76 \) (левая часть)
4. \( y = x + 124 \) (правая часть)

Найдём, при каких значениях \( a \) прямая \( y = ax - 10a + 10 \) совпадает с одной из этих сторон. Например, возьмем касание с верхней стороной: \[ ax - 10a + 10 = -x + 124. \] Преобразуем уравнение: \[ (a + 1)x = 124 + 10a - 10, \] или \[ (a + 1)x = 114 + 10a. \] Теперь выразим \( x \): \[ x = \frac{114 + 10a}{a + 1}. \]

Теперь подставим это значение \( x \) обратно в уравнение прямой, чтобы найти значение \( y \): \[ y = a\left(\frac{114 + 10a}{a + 1}\right) - 10a + 10. \] Эти значения \( (x, y) \) должны лежать на границе ромба, иначе у нас не будет ровно одного решения.

После соответствующих вычислений и анализа мы можем установить, что линия может касаться ромба только при определённых значениях \( a \). Чаще всего это пределы наклона линии (при \( a = 1 \) линия будет иметь угол 45°, а при \( a = -1 \) угол -45°). Проанализировав все случаи, мы можем прийти к выводу, что для значений \( a \) от -1 до 1, прямая будет пересекать границы ромба в двух точках, кроме 1, когда она будет касаться.

Таким образом, максимальное значение \( a \), при котором система уравнений имеет ровно одно решение, равно: \[ a = 1. \]