(х²-1)+(х²-3х+2)⁴=0

Решим уравнение \((x^2 - 1) + (x^2 - 3x + 2)^4 = 0\).

1. Начнем с упрощения уравнения. Запишем: \[ x^2 - 1 + (x^2 - 3x + 2)^4 = 0 \]

2. Обратите внимание, что \((x^2 - 1)\) - это разность квадратов, которую можно разложить: \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]

3. Рассмотрим второй элемент: \((x^2 - 3x + 2)\). Это квадратный трехчлен, который можно разложить на множители: \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \]

Теперь подставим это в уравнение: \[ (x - 1)(x + 1) + ((x - 1)(x - 2))^4 = 0 \]

4. Теперь рассмотрим случаи, когда \((x - 1) = 0\):

• Если \(x - 1 = 0\), то \(x = 1\).

5. Подставим \(x = 1\) в уравнение: \[ (1 - 1)(1 + 1) + 0^4 = 0 \Rightarrow 0 + 0 = 0 \] Это значение подходит.

6. Теперь рассмотрим случай, когда \((x - 2) = 0\):

• Если \(x - 2 = 0\), то \(x = 2\).

7. Подставим \(x = 2\) в уравнение: \[ (2^2 - 1) + (2^2 - 3 \cdot 2 + 2)^4 = 0 \] \[ (4 - 1) + (4 - 6 + 2)^4 = 0 \Rightarrow 3 + 0^4 = 3 \neq 0 \] Это значение не подходит.

8. Теперь посмотрим, есть ли другие решения. Из уравнения видно, что \((x^2 - 3x + 2)^4\) всегда больше или равно нулю, это означает, что левая часть уравнения может быть равна нулю только тогда, когда \((x^2 - 1)\) тоже равно нулю.

Итак, у нас остается только решение \(x = 1\).

Итог: Единственное решение уравнения \((x^2 - 1) + (x^2 - 3x + 2)^4 = 0\) — это \(x = 1\).