Доказать, что сумма любого набора векторов, для которых конец одного совпадает с началом следующего, равна вектору, соединяющему начало первого вектора и конец последнего: A1A2 +…
Доказать, что сумма любого набора векторов, для которых конец одного совпадает с началом следующего, равна вектору, соединяющему начало первого вектора и конец последнего: A1A2 + A2A3 ++ An-1A = A1An
Для доказательства утверждения о том, что сумма любого набора векторов, для которых конец одного совпадает с началом следующего, равна вектору, соединяющему начало первого вектора и конец последнего, давайте обозначим наши векторы более формально.
Пусть векторы обозначаются следующим образом:
- Вектор \( \mathbf{A_1} \) — от точки \( A_1 \) до точки \( A_2 \)
- Вектор \( \mathbf{A_2} \) — от точки \( A_2 \) до точки \( A_3 \)
- ...
- Вектор \( \mathbf{A_{n-1}} \) — от точки \( A_{n-1} \) до точки \( A_n \)
Сначала запишем их векторные представления:
\[ \mathbf{A_1} = A_2 - A_1 \] \[ \mathbf{A_2} = A_3 - A_2 \] \[ \cdots \] \[ \mathbf{A_{n-1}} = A_n - A_{n-1} \]
Теперь суммируем все эти векторы:
\[ \mathbf{A_1} + \mathbf{A_2} + \cdots + \mathbf{A_{n-1}} = (A_2 - A_1) + (A_3 - A_2) + \cdots + (A_n - A_{n-1}) \]
Здесь видно, что при суммировании векторов происходит взаимное сокращение:
- \( A_2 \) из \( (A_2 - A_1) \) и \( (A_3 - A_2) \)
- \( A_3 \) из \( (A_3 - A_2) \) и \( (A_4 - A_3) \)
- И так далее, пока не останется только \( A_n \) из последнего вектора.
После всех сокращений мы получим:
\[ (A_n - A_1) \]
Таким образом, сумма векторов равна:
\[ \mathbf{A_1} + \mathbf{A_2} + \cdots + \mathbf{A_{n-1}} = A_n - A_1 \]
Теперь можем переписать это как:
\[ \mathbf{A_1} + \mathbf{A_2} + \cdots + \mathbf{A_{n-1}} = \mathbf{A_{1n}} \]
где \( \mathbf{A_{1n}} \) — это вектор, соединяющий начало первого вектора \( A_1 \) и конец последнего вектора \( A_n \).
Таким образом, мы доказали, что сумма векторов, где конец одного совпадает с началом следующего, действительно равна вектору, соединяющему начало первого вектора и конец последнего.
