В прямоугольном треугольнике ABC угол C=90 ; CH- высота. BC=10; cos=√21/5. BH-?
В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусам, высота CH опущена на гипотенузу AB. Давайте сначала вспомним, что в прямоугольном треугольнике мы можем использовать соотношения между углами и сторонами.
Дано:
- длина стороны BC = 10,
- косинус угла CBA (обозначим его как угол A) равен √21/5.
Согласно определению косинуса, мы знаем, что:
\[ \cos(A) = \frac{первый\, катет}{гипотенуза} \]
Пусть AB — гипотенуза, а AC — первый катет. В нашем случае:
\[ \cos(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{21}}{5} \]
Чтобы найти BH, используем теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике ABC:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Здесь BC = 10. Мы можем выразить AB через AC:
- Сначала найдем длину AB. Используя косинус, можно написать:
\[ AB = \frac{AC}{\cos(A)} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = AC \cdot \frac{5}{\sqrt{21}} \]
Теперь подставим это значение в уравнение Пифагора:
\[ \left(AC \cdot \frac{5}{\sqrt{21}}\right)^2 = AC^2 + 10^2 \]
Решим это уравнение:
\[ \frac{25 \cdot AC^2}{21} = AC^2 + 100 \]
Умножим обе стороны на 21, чтобы избавиться от дроби:
\[ 25 AC^2 = 21 AC^2 + 2100 \]
Теперь перенесём 21 AC^2 в левую часть:
\[ 4 AC^2 = 2100 \]
Теперь делим обе стороны на 4:
\[ AC^2 = 525 \]
Следовательно, находясь в прямоугольном треугольнике:
\[ AC = \sqrt{525} = 15\sqrt{7}/7 \]
Теперь давайте найдем BH. Поскольку BH – это проекция BC на AC, то:
- По теореме Пифагора мы можем говорить, что:
\[ BH = \frac{BC \cdot AC}{AB} \]
Сначала найдем AB с использованием найденного AC:
\[ AB = \sqrt{10^2 + AC^2} = \sqrt{100 + 525} = \sqrt{625} = 25 \]
Теперь можем найти BH:
\[ BH = \frac{10 \cdot AC}{25} = \frac{10 \cdot 15\sqrt{7}/7}{25} = \frac{150\sqrt{7}}{175} = \frac{6\sqrt{7}}{7} \]
Таким образом, длина отрезка BH равна \( \frac{6\sqrt{7}}{7} \).
