На рисунке выделена фигура, ограниченная графиком функции у = (x - 3)^2 и прямыми у = 0, x = 1, x = 5. Найдите объём тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси абсцисс.…
На рисунке выделена фигура, ограниченная графиком функции у = (x - 3)^2 и прямыми у = 0, x = 1, x = 5. Найдите объём тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси абсцисс. Ответ округлите до целого.
Чтобы найти объём тела, образованного вращением фигуры вокруг оси абсисс, мы используем метод дисков или цилиндров.
Определим границы интегрирования: В данном случае у нас есть парабола \( y = (x - 3)^2 \) и прямые \( x = 1 \) и \( x = 5 \).
Найдем объём: Объём \( V \) можно выразить через интеграл от функции, которая представляет радиус кругового сечения при вращении:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx \]
где \( f(x) \) — это функция, определяющая радиус (в нашем случае \( f(x) = (x - 3)^2 \)), и \( a \) и \( b \) — границы интегрирования. Здесь \( a = 1 \) и \( b = 5 \).
- Запишем интеграл:
\[ V = \pi \int_{1}^{5} ((x - 3)^2)^2 \,dx \]
- Упростим выражение под интегралом:
\[ ((x - 3)^2)^2 = (x - 3)^4 \]
- Теперь подставим это в интеграл:
\[ V = \pi \int_{1}^{5} (x - 3)^4 \,dx \]
- Вычислим интеграл: Для этого найдем антипроизводную:
\[ \int (x - 3)^4 \,dx = \frac{(x - 3)^5}{5} + C \]
- Теперь подставим пределы интегрирования:
\[ \int_{1}^{5} (x - 3)^4 \,dx = \left[\frac{(x - 3)^5}{5}\right]_{1}^{5} \]
Сначала вычислим \( (5 - 3)^5 \) и \( (1 - 3)^5 \):
\[ (5 - 3)^5 = 2^5 = 32 \] \[ (1 - 3)^5 = (-2)^5 = -32 \]
Теперь подставим значения:
\[ = \frac{32}{5} - \frac{-32}{5} = \frac{32 + 32}{5} = \frac{64}{5} \]
- Вычислим объём:
\[ V = \pi \cdot \frac{64}{5} \]
- Теперь можем выразить окончательный ответ:
\[ V \approx 12.8 \pi \]
Приближённо, используя значение \( \pi \approx 3.14 \):
\[ V \approx 12.8 \cdot 3.14 \approx 40.2 \]
Округляя до целого числа, получаем:
\[ V \approx 40 \]
Таким образом, объём тела, образованного вращением выделенной фигуры вокруг оси абсцисс, примерно равен 40.
