Вычислите sin 2a, cos 2a и tg2a если sin a = 1/2 и п/2

Давай разберёмся с задачей! У нас есть \(\sin a = \frac{1}{2}\) и \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\). Нужно найти \(\sin 2a\), \(\cos 2a\) и \(\tan 2a\).

1. Определение \(a\):

   Поскольку \(\sin a = \frac{1}{2}\) и \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\), то \(a = \frac{5\pi}{6}\). Это связано с тем, что в этой области синус положителен, а при \(\sin a = \frac{1}{2}\) угол равен \(\frac{5\pi}{6}\).

2. Нахождение \(\cos a\):

   Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\).

   \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \implies \frac{1}{4} + \cos^2 a = 1 \implies \cos^2 a = \frac{3}{4} \]

   Поскольку \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\), \(\cos a\) отрицателен, поэтому \(\cos a = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

3. Вычисление \(\sin 2a\), \(\cos 2a\):

   \(\sin 2a = 2 \sin a \cos a\)

   \[ \sin 2a = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

   \(\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a =\)

   \[ \cos 2a = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \]

4. Вычисление \(\tan 2a\):

   \(\tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a}\)

   \[ \tan 2a = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \]

Итак, получаем: \(\sin 2a = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 2a = \frac{1}{2}\), \(\tan 2a = -\sqrt{3}\).

Если что-то непонятно, спрашивай!