Найти неопределённый интеграл: |(x²-⁴√x³+2/x-3) dx

Чтобы найти неопределённый интеграл функции \((x^2 - 4\sqrt{x^3} + \frac{2}{x} - 3) \, dx\), давайте сначала упростим выражение.

Разделим интеграл на несколько частей:

\[ \int (x^2 - 4\sqrt{x^3} + \frac{2}{x} - 3) \, dx = \int x^2 \, dx - \int 4\sqrt{x^3} \, dx + \int \frac{2}{x} \, dx - \int 3 \, dx \]

Теперь вычислим каждый из интегралов по отдельности.

1. \(\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1\)

2. Для второго интеграла \(\int 4\sqrt{x^3} \, dx\), сначала преобразуем \(\sqrt{x^3}\):

   \(\sqrt{x^3} = x^{3/2}\), тогда \[ \int 4\sqrt{x^3} \, dx = \int 4x^{3/2} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{8}{5} x^{5/2} + C_2 \]

3. \(\int \frac{2}{x} \, dx = 2\ln|x| + C_3\)

4. \(\int 3 \, dx = 3x + C_4\)

Теперь объединяем все эти результаты:

\[ \int (x^2 - 4\sqrt{x^3} + \frac{2}{x} - 3) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{8}{5} x^{5/2} + 2\ln|x| - 3x + C \]

где \(C\) — это константа интегрирования, которая включает все \(C_1, C_2, C_3, C_4\).

Итак, окончательный результат:

\[ \int (x^2 - 4\sqrt{x^3} + \frac{2}{x} - 3) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{8}{5} x^{5/2} + 2\ln|x| - 3x + C \]