Анна работает в офисе, где стоит сейф со служебными документами. Для открытия сейфа нужен код из 7 цифр. Анна помнит несколько особенностей этого кода: первые три цифры находятся в диапазоне от 0 до 5 и представляют собой возрастающую арифметическую прогрессию с шагом, не равным 0; последние три цифры кода – это перестановка первых трех, но не в том же порядке (т.е. те же самые цифры, но в другом порядке); цифра в середине кода не совпадает ни с одной цифрой из первой и последней тройки. Сколько возможных различных комбинаций кода сейфа может быть?

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Первое условие: Первые три цифры должны находиться в диапазоне от 0 до 5 и образовывать возрастающую арифметическую прогрессию с шагом, не равным 0. Возможные шаги для прогрессии могут быть 1, 2 и 3, так как шаг больше 3 приведёт к выходу за пределы указанного диапазона.

   • Если шаг равен 1, возможные прогрессии:

     • (0, 1, 2)
     • (1, 2, 3)
     • (2, 3, 4)
     • (3, 4, 5)

     Итог: 4 прогрессии.

   • Если шаг равен 2, возможные прогрессии:

     • (0, 2, 4)
     • (1, 3, 5)

     Итог: 2 прогрессии.

   • Если шаг равен 3, возможная прогрессия:

     • (0, 3, 6) — не подходит, т.к. 6 вне диапазона.

     Итог: 0 прогрессий.

   Итак, всего у нас 4 + 2 = 6 возможных комбинаций для первых трех цифр.

2. Второе условие: Последние три цифры — это перестановка первых трех, но не в том же порядке. Для каждой из 6 комбинаций первых трех цифр мы можем создать перестановки, но нам нужно исключить исходный порядок.

   Количество перестановок для трех цифр — это 3! = 6. Однако нам нужно вычесть один (оригинальный порядок):

   Итог: 6 - 1 = 5 перестановок.

3. Третье условие: Цифра в середине не должна совпадать ни с одной из цифр из первой и последней тройки. При этом сумма из трех цифр будет взята из диапазона от 0 до 5, что дает нам всего 6 возможных цифр (от 0 до 5). Нам нужно убрать 6 различных цифр: 3 цифры из первой тройки и 3 переставленные, которые идентичны, но только в другом порядке. Как только мы убрали эти три цифры, у нас остаётся 3 цифры, из которых мы можем выбрать.

Теперь у нас есть 6 делений для первых трех цифр. Для каждой такой группы у нас 5 уникальных перестановок, и для серединной цифры есть 3 возможных варианта.

Итак, общее количество возможных комбинаций кода сейфа составит:

\[ 6 \text{ (прогрессии)} \times 5 \text{ (перестановки)} \times 3 \text{ (среди чисел)} = 90. \]

Ответ: существует 90 возможных различных комбинаций кода сейфа.