⁵√32+³√-8

Чтобы решить выражение \( ⁵√32 + ³√-8 \), начнем с каждого корня по отдельности.

1. Пятый корень из 32: Пятый корень числа 32 можно выразить как \( 32^{1/5} \). Мы знаем, что \( 32 = 2^5 \). Поэтому: \[ ⁵√32 = 32^{1/5} = (2^5)^{1/5} = 2. \]

2. Третий корень из -8: Третий корень числа -8 тоже можно записать как \( (-8)^{1/3} \). Здесь -8 можно записать в виде -1 умножить на 8: \[ ³√(-8) = ³√(-1 \cdot 8) = ³√(-1) \cdot ³√8. \] Корень из -1 равен \( i \) (в комплексных числах), а корень из 8 равен \( 2 \sqrt{2} \), так как \( 8 = 2^3 \): \[ ³√8 = 2. \] Таким образом, мы получаем: \[ ³√(-8) = i \cdot 2 = 2i. \]

Теперь объединим результаты: \[ ⁵√32 + ³√-8 = 2 + 2i. \]

Итак, окончательный ответ: \[ 2 + 2i. \]