Lim (((3-n)^4 - (2-n)^4)/((1-n)^4 - (1+n)^4)), x ->+99999999999
Чтобы вычислить предел \(\lim_{n \to +\infty} \frac{(3-n)^4 - (2-n)^4}{(1-n)^4 - (1+n)^4}\), давайте начнем с упрощения выражений в числителе и знаменателе.
Числитель:
\((3-n)^4 - (2-n)^4\)
Применим разность квадратов: \[ a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2) \] где \(a = 3-n\) и \(b = 2-n\).
Сначала найдем \( (3-n)^2 - (2-n)^2 \): \[ = ((3-n) - (2-n))((3-n) + (2-n)) = (1)(5 - 2n) = 5 - 2n \]
Далее, найдем \( (3-n)^2 + (2-n)^2 \): \[ (3-n)^2 + (2-n)^2 = (9 - 6n + n^2) + (4 - 4n + n^2) = 2n^2 - 10n + 13 \]
Таким образом, числитель можно записать как: \[ (5 - 2n)(2n^2 - 10n + 13) \]
Знаменатель:
\((1-n)^4 - (1+n)^4\)
Аналогично, применяется разность квадратов: \[ (1-n)^4 - (1+n)^4 = ((1-n)^2 - (1+n)^2)((1-n)^2 + (1+n)^2) \]
Сначала найдем \( (1-n)^2 - (1+n)^2 \): \[ = (-2n)(2) = -4n \]
Далее, найдем \( (1-n)^2 + (1+n)^2 \): \[ = (1 - 2n + n^2) + (1 + 2n + n^2) = 2 + 2n^2 \]
Таким образом, знаменатель можно записать как: \[ -4n(2 + 2n^2) = -8n^3 - 8n \]
Теперь подставим всё это в предел: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{(5 - 2n)(2n^2 - 10n + 13)}{-8n^3 - 8n} \]
При \(n \to +\infty\), доминирующие члены в числителе и знаменателе будут:
- Числитель: \(-4n \cdot 2n^2 = -8n^3\) (при больших \(n\))
- Знаменатель: \(-8n^3\)
Таким образом, предел будет равен: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{-8n^3}{-8n^3} = 1 \]
Таким образом, окончательный ответ: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{(3-n)^4 - (2-n)^4}{(1-n)^4 - (1+n)^4} = 1 \]
