Вариант 1 1. Найти координаты вектора АB, если: A (2;-3;0), B (4;-5:1). 2. Точка Е середина отрезка АВ. Найти координаты точки В, если: A (2;-1;4), E (1;-2;-2). 3. Найти длину вектора CD,если С (2;1;0), D (-1;-2;3). 4. Даны три точки. Найти косинус угла У между векторами АВ и АС: A (-4;2;-1), B (1;-1;2), C (2;5;1). 5. Найти координаты вершины D параллелограмма АВСD, если координаты трех других его вершины известны: A (1;-1;0), B (0;1;-1), C (-1;0;1). 6. Даты точки М и №. Найти расстояние от начала координат до середины отрезка М. M (-5;6;0) N (0;-2;3). 7. Даны точки АВС. Найти периметр треугольника АВС, если: A (3;7;-4) B (5;-3;2) C (1; 3; -10) Вариант 2 1. Найти координаты вектора АВ, если: A(-1;1;-2),B (2:0;-3) 2. Точка Е середина отрезка АВ. Найти координаты точки А, если: B(-1;1:2), E (-6;3;-3) 3. Найти длину вектора CD,если: С (1:0;-2), D (2;-1;1) 4. Даны три точки. Найти косинус угла У между векторами АВ и АС: A (1;2;-2), B (-3;1;4), C (-4;1;3). 5. Найти координаты вершины D параллелограмма АВСD, если координаты трех других его вершины известны: A (4:2;-1) B (1;-3;2) C (-4;2;1) 6. Даты точки М и №. Найти расстояние от начала координат до середины отрезка MN. M (6;-4;1) N (1;-1;0). 7. Даны точки АВС. Найти периметр треугольника АВС, если: A(5;-5;-1) B (5;-3;-1) C (4;-3;0).

Давайте подробно разберем все задачи из двух вариантов:

Вариант 1

1. Найти координаты вектора AB: Векторы вычисляются по формуле \( \vec{AB} = B - A \). \[ A(2, -3, 0), \quad B(4, -5, 1) \] \[ \vec{AB} = (4 - 2, -5 + 3, 1 - 0) = (2, -2, 1) \]

2. Найти координаты точки B, если E - середина отрезка AB: Используем формулу для середины отрезка: \[ E = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \] Подставим: \[ E(1, -2, -2) = \left( \frac{2 + x_B}{2}, \frac{-1 + y_B}{2}, \frac{4 + z_B}{2} \right) \] Решаем для каждой координаты: \[ \frac{2 + x_B}{2} = 1 \Longrightarrow x_B = 0 \] \[ \frac{-1 + y_B}{2} = -2 \Longrightarrow y_B = -3 \] \[ \frac{4 + z_B}{2} = -2 \Longrightarrow z_B = -8 \] Таким образом, \( B(0, -3, -8) \).

3. Найти длину вектора CD: Длина вектора рассчитывается по формуле: \[ |\vec{CD}| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2} \] \[ C(2, 1, 0), \quad D(-1, -2, 3) \] \[ |\vec{CD}| = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-2 - 1)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

4. Найти косинус угла У между векторами AB и AC: Косинус угла между векторами определяется по формуле: \[ \cos(U) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} \] где \[ \vec{AB} = B - A = (1 + 4, -1 - 2, 2 + 1) = (5, -3, 3) \] \[ \vec{AC} = C - A = (2 + 4, 5 - 2, 1 + 1) = (6, 3, 1) \] Теперь находим скалярное произведение: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 5 \cdot 6 + (-3) \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 30 - 9 + 3 = 24 \] Вычисляем длины векторов: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9 + 9} = \sqrt{43} \] \[ |\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 9 + 1} = \sqrt{46} \] Таким образом, \[ \cos(U) = \frac{24}{\sqrt{43} \cdot \sqrt{46}} \]

5. Найти координаты вершины D параллелограмма ABCD: По свойству параллелограмма: \[ D = A + C - B \] \[ D = (1, -1, 0) + (-1, 0, 1) - (0, 1, -1) = (0, 0, 2) \]

6. Найти расстояние от начала координат до середины отрезка MN: Сначала найдем середину: \[ M(-5, 6, 0), \quad N(0, -2, 3) \] \[ E = \left( \frac{-5 + 0}{2}, \frac{6 - 2}{2}, \frac{0 + 3}{2} \right) = \left( -2.5, 2, 1.5 \right) \] Теперь находим расстояние: \[ |OE| = \sqrt{(-2.5)^2 + 2^2 + (1.5)^2} = \sqrt{6.25 + 4 + 2.25} = \sqrt{12.5} \]

7. Найти периметр треугольника ABC: Сначала найдем длины сторон: \[ AB = \sqrt{(5 - 3)^2 + (-3 + 5)^2 + (-1 + 4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = 3 \] \[ BC = \sqrt{(1 - 5)^2 + (3 + 3)^2 + (-10 + 1)^2} = \sqrt{16 + 36 + 81} = 11 \] \[ AC = \sqrt{(1 - 3)^2 + (3 - 7)^2 + (-10 + 4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = 8 \] Периметр: \[ P = AB + BC + AC = 3 + 11 + 8 = 22 \]

Вариант 2

1. Найти координаты вектора AB: \[ A(-1, 1, -2), \quad B(2, 0, -3) \] \[ \vec{AB} = (2 + 1, 0 - 1, -3 + 2) = (3, -1, -1) \]

2. Найти координаты точки A, если E - середина отрезка AB: Используем ту же формулу: \[ E(-6, 3, -3) = \left( \frac{x_A + (-1)}{2}, \frac{y_A + 1}{2}, \frac{z_A + 2}{2} \right) \] Решаем для каждой координаты: \[ \frac{x_A - 1}{2} = -6 \Longrightarrow x_A = -11 \] \[ \frac{y_A + 1}{2} = 3 \Longrightarrow y_A = 5 \] \[ \frac{z_A + 2}{2} = -3 \Longrightarrow z_A = -8 \] Таким образом, \( A(-11, 5, -8) \).

3. Найти длину вектора CD: \[ C(1, 0, -2), \quad D(2, -1, 1) \] \[ |\vec{CD}| = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-1 - 0)^2 + (1 + 2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11} \]

4. Найти косинус угла U между векторами AB и AC: \[ \vec{AB} = B - A = (-3 + 1, 1 - 2, 4 + 2) = (-2, -1, 6) \] \[ \vec{AC} = C - A = (-4 + 1, 1 - 2, 3 + 2) = (-3, -1, 5) \] Теперь находим скалярное произведение: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2)(-3) + (-1)(-1) + 6 \cdot 5 = 6 + 1 + 30 = 37 \] Длины векторов: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 1 + 36} = \sqrt{41} \] \[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35} \] Таким образом, \[ \cos(U) = \frac{37}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{35}} \]

5. Найти координаты вершины D параллелограмма ABCD: \[ D = A + C - B \] \[ D = (4, 2, -1) + (-4, 2, 1) - (1, -3, 2) = (-1, 5, -2) \]

6. Найти расстояние от начала координат до середины отрезка MN: Сначала найдем середину: \[ M(6, -4, 1), \quad N(1, -1, 0) \] \[ E = \left( \frac{6 + 1}{2}, \frac{-4 - 1}{2}, \frac{1 + 0}{2} \right) = \left( 3.5, -2.5, 0.5 \right) \] Теперь находим расстояние: \[ |OE| = \sqrt{(3.5)^2 + (-2.5)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{12.25 + 6.25 + 0.25} = \sqrt{18.75} \]

7. Найти периметр треугольника ABC: Сначала найдем длины сторон: \[ AB = \sqrt{(5 - 5)^2 + (-3 + 5)^2 + (-1 + 1)^2} = \sqrt{0 + 4 + 0} = 2 \] \[ BC = \sqrt{(4 - 5)^2 + (-3 + 3)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] \[ AC = \sqrt{(4 - 5)^2 + (-3 + 5)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = 2.5 \] Периметр: \[ P = AB + BC + AC = 2 + \sqrt{2} + 2.5 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше информации, не стесняйтесь спрашивать!