Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции f(x)={█(x∶2,если х≤2@4∶х,если 2<х≤4@х^2-15,если х>4)┤

Для исследования функции \( f(x) \), заданной по частям:

\[ f(x) = \begin{cases} x, & \text{если } x \leq 2 \\ 4, & \text{если } 2 < x \leq 4 \\ x^2 - 15, & \text{если } x > 4 \end{cases} \]

сначала проверим непрерывность функции в точках, где определение функции меняется, то есть в точках \( x = 2 \) и \( x = 4 \).

1. Проверка непрерывности в точке \( x = 2 \)

Мы должны проверить три условия:

• Предел функции при подходе к 2 слева: \( \lim_{x \to 2^-} f(x) \)

• Предел функции при подходе к 2 справа: \( \lim_{x \to 2^+} f(x) \)

• Значение функции в точке 2: \( f(2) \)

• \( f(2) = 2 \) (из первого условия).

Теперь найдем пределы:

• \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 \) (по определению функции \( f(x) = x \) для \( x \leq 2 \)).
• \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 \) (по определению функции \( f(x) = 4 \) для \( 2 < x \leq 4 \)).

Поскольку \( \lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x) \), функция не является непрерывной в точке \( x = 2 \).

2. Проверка непрерывности в точке \( x = 4 \)

Теперь проверим точку \( x = 4 \):

• \( f(4) = 4 \) (из второго условия).

Найдем пределы:

• \( \lim_{x \to 4^-} f(x) = 4 \) (так как для \( 2 < x \leq 4 \), \( f(x)=4 \)).
• \( \lim_{x \to 4^+} f(x) = 4^2 - 15 = 1 \) (по определению функции \( f(x) = x^2 - 15 \) для \( x > 4 \)).

Аналогично, так как \( \lim_{x \to 4^-} f(x) = 4 \) и \( \lim_{x \to 4^+} f(x) = 1 \), функция не является непрерывной в точке \( x = 4 \).

3. Подведение итогов

Мы выяснили, что функция \( f(x) \) не является непрерывной ни в одной из точек разбиения (в точках \( x = 2 \) и \( x = 4 \)).

4. Построение графика функции

Для построения графика функции нужно будет рассмотреть три кусочка:

• Для \( x \leq 2 \): линейная функция \( f(x) = x \) (прямая линия, проходящая через начало координат и (2, 2)).
• Для \( 2 < x \leq 4 \): горизонтальная линия \( f(x) = 4 \) (прямоугольник от \( x = 2 \) до \( x = 4 \) на уровне \( y = 4 \)).
• Для \( x > 4 \): парабола \( f(x) = x^2 - 15 \). Эта часть графика начинается от точки \( (4, 1) \) и открывается вверх.

Теперь вы можете изобразить эти три части на одной координатной плоскости. Удачи в дальнейших изучениях!