Косинус 105⁰

Косинус угла 105° можно найти, используя тригонометрические свойства. Угол 105° можно разложить как 90° + 15°. Мы можем использовать формулу косинуса суммы:

\[ \cos(90° + x) = -\sin(x) \]

Таким образом, мы можем переписать косинус 105° как:

\[ \cos(105°) = \cos(90° + 15°) = -\sin(15°) \]

Теперь нужно найти значение \(\sin(15°)\). Оно может быть вычислено с помощью формул половинного угла или суммы углов. В частности, \(\sin(15°)\) можно выразить как:

\[ \sin(15°) = \sin(45° - 30°) = \sin(45°)\cos(30°) - \cos(45°)\sin(30° \]

Подставляя известные значения:

• \(\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\)

Получаем:

\[ \sin(15°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

Таким образом, возвращаясь к \(\cos(105°)\):

\[ \cos(105°) = -\sin(15°) = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

Итак, косинус 105° равен \(-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).