Задача 16. Две одинаковые грядки одновременно начали поливать из леек одинакового объема: первую грядку из лейки с толстым горлышком (опустошается за 14 минут), вторую — с тонким горлышком (опустошается за 28 минут). Через некоторое время одновременно закончили поливать. Оказалось, что объем оставшейся воды в лейке с тонким горлышком в 4 раза больше, чем в лейке с толстым горлышком. Сколько минут длился полив?

Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом.

1. Определим объем воды в каждой лейке. Обозначим объем лейки как \( V \).

2. Скорость опустошения каждой лейки:

   • Лейка с толстым горлышком опустошается за 14 минут. Значит, её скорость: \[ \text{Скорость}_1 = \frac{V}{14} \, \text{л/мин} \]
   • Лейка с тонким горлышком опустошается за 28 минут. Значит, её скорость: \[ \text{Скорость}_2 = \frac{V}{28} \, \text{л/мин} \]

3. Определим, сколько воды осталось в каждой лейке после \( t \) минут полива.

   • В лейке с толстым горлышком осталось: \[ V - \text{Скорость}_1 \cdot t = V - \frac{V}{14} \cdot t = V\left(1 - \frac{t}{14}\right) \]
   • В лейке с тонким горлышком осталось: \[ V - \text{Скорость}_2 \cdot t = V - \frac{V}{28} \cdot t = V\left(1 - \frac{t}{28}\right) \]

4. По условию задачи известно, что после окончания полива объем оставшейся воды в лейке с тонким горлышком в 4 раза больше, чем в лейке с толстым горлышком: \[ V\left(1 - \frac{t}{28}\right) = 4 \cdot V\left(1 - \frac{t}{14}\right) \]

5. Упростим уравнение: Поскольку \( V \neq 0 \), делим обе стороны на \( V \): \[ 1 - \frac{t}{28} = 4\left(1 - \frac{t}{14}\right) \] Раскроем скобки: \[ 1 - \frac{t}{28} = 4 - \frac{4t}{14} \] Преобразуем: \[ 1 - \frac{t}{28} = 4 - \frac{2t}{7} \]

6. Умножим всё на 28 для устранения дробей: \[ 28 - t = 112 - 8t \]

7. Преобразуем уравнение: \[ 8t - t = 112 - 28 \] \[ 7t = 84 \] \[ t = 12 \]

Таким образом, полив длился 12 минут.