Дано: М¹ (2;1); М² (3;-4) точка М¹ принадлежит прямой l, вектор М¹М² перпендикулярен прямой l. Составить уравнение прямой проходящий через l¹.
Для решения этой задачи нужно найти уравнение прямой, проходящей через точку М¹ и перпендикулярной данной прямой l. Давайте разберем шаги решения по порядку.
Находим вектор М¹М²: У нас есть точки М¹(2, 1) и М²(3, -4). Вектор М¹М² можно вычислить как разность координат: \[ \vec{M¹M²} = M² - M¹ = (3 - 2, -4 - 1) = (1, -5). \]
Определяем направление прямой l: Поскольку вектор М¹М² перпендикулярен прямой l, то нормальный вектор к прямой l должен быть перпендикулярен вектору М¹М². Это значит, что если вектор направления прямой l обозначим через (a, b), то должно выполняться равенство: \[ 1 \cdot a + (-5) \cdot b = 0 \quad \text{(условие перпендикулярности)}. \] То есть: \[ a - 5b = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 5b. \]
Формируем уравнение прямой l: Уравнение прямой можно записать в общем виде: \[ \frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b}, \] где (x₁, y₁) - координаты точки на прямой, а (a, b) - её направление. Заменим \(a\) на \(5b\): \[ \frac{x - 2}{5b} = \frac{y - 1}{b}. \] Умножаем обе части на \(5b\): \[ x - 2 = 5(y - 1) \quad \Rightarrow \quad x - 2 = 5y - 5. \]
Записываем финальное уравнение: Приводим уравнение к стандартному виду: \[ x - 5y + 3 = 0. \]
Уравнение перпендикулярной прямой: Уравнение прямой, проходящей через точку М¹ и перпендикулярной прямой l, можно записать, используя точку и направление. Поскольку угловой коэффициент прямой l равен \( \frac{1}{5} \), то угловой коэффициент прямой, проходящей через М¹, будет равен -5 (перпендикулярное направление). Таким образом, уравнение имеет вид: \[ y - 1 = -5(x - 2). \] Раскрываем скобки: \[ y - 1 = -5x + 10 \quad \Rightarrow \quad y = -5x + 11. \]
Итак, уравнение искомой прямой, проходящей через точку М¹ и перпендикулярной прямой l, будет: \[ y = -5x + 11. \]
Если нужны дополнительные пояснения или помощь с другими задачами, дайте знать!
