В треугольнике ABC дано: С = 90 градусов, AC = 6 см, BC = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ.

В треугольнике ABC с прямым углом при вершине C и известными длинами сторон AC и BC можно сначала найти длину стороны AB с помощью теоремы Пифагора.

Согласно теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]

Таким образом,

\[ AB = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \]

Теперь, чтобы найти длину медиа́ны CM, применим формулу для медианы треугольника:

\[ CM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} \]

Подставим известные значения:

\[ CM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot 6^2 - 8^2} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 100 + 2 \cdot 36 - 64} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{200 + 72 - 64} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{200 + 8} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{208} \] \[ = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{13} \] \[ = 2\sqrt{13} \text{ см} \]

Теперь найдем длину отрезка KM. Учитывая, что CK перпендикулярно к плоскости треугольника ABC и CK = 12 см, мы можем использовать теорему Пифагора снова в прямоугольном треугольнике CMK:

\[ CK^2 = CM^2 + KM^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ 12^2 = (2\sqrt{13})^2 + KM^2 \] \[ 144 = 4 \cdot 13 + KM^2 \] \[ 144 = 52 + KM^2 \] \[ KM^2 = 144 - 52 = 92 \] \[ KM = \sqrt{92} = 2\sqrt{23} \text{ см} \]

Таким образом, длина отрезка KM равна \( 2\sqrt{23} \text{ см} \).