определить при каких значениях альфа и бета векторы коллинеарны альфаi +3j+ беттаk будет коллинеарен [а,b] если a(3,-1,1),b(1,2,0)
Чтобы определить, при каких значениях параметров α и β векторы \( \alpha i + 3j + \beta k \) будут коллинеарны вектору \( [a, b] \), где \( a(3, -1, 1) \) и \( b(1, 2, 0) \), нам нужно выполнить несколько шагов.
Запишем векторы:
- Вектор \( v = \alpha i + 3j + \beta k = (\alpha, 3, \beta) \).
- Вектор \( a = (3, -1, 1) \).
- Вектор \( b = (1, 2, 0) \).
Находим векторное произведение: Для коллинеарности векторов, их векторное произведение должно быть равно нулю. Для этого найдем вектор \( a \) и \( b \).
Вектор \( ab = b - a = (1 - 3, 2 - (-1), 0 - 1) = (-2, 3, -1) \).
Найдем векторное произведение: Теперь вычислим векторное произведение \( v \) и \( ab \): \[ v \times ab = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \alpha & 3 & \beta \\ -2 & 3 & -1 \end{vmatrix} \]
Вычислим определитель: \[ v \times ab = i(3 \cdot (-1) - \beta \cdot 3) - j(\alpha \cdot (-1) - \beta \cdot (-2)) + k(\alpha \cdot 3 - 3 \cdot (-2)). \] Это упрощается к: \[ = i(-3 - 3\beta) - j(-\alpha + 2\beta) + k(3\alpha + 6). \]
Для коллинеарности: Для того чтобы векторное произведение было равно нулю, каждая компонента должна быть равна нулю. Это дает систему уравнений: \[ -3 - 3\beta = 0, \] \[ -\alpha + 2\beta = 0, \] \[ 3\alpha + 6 = 0. \]
Решим систему: Из первого уравнения: \[ -3 - 3\beta = 0 \implies \beta = -1. \]
Подставим \(\beta\) во второе уравнение: \[ -\alpha + 2(-1) = 0 \implies -\alpha - 2 = 0 \implies \alpha = -2. \]
Проверим третье уравнение: \[ 3(-2) + 6 = 0 \implies -6 + 6 = 0. \]
Ответ: Таким образом, векторы будут коллинеарны при \(\alpha = -2\) и \(\beta = -1\).
