Для проведения экзамена закуплены тетради.Если их сложить в пачки по 45 штук,останется одна лишняя тетрадь,а если сложить в пачки по 50 штук то в одной пачке не будет хватать 4…
Для проведения экзамена закуплены тетради.Если их сложить в пачки по 45 штук,останется одна лишняя тетрадь,а если сложить в пачки по 50 штук то в одной пачке не будет хватать 4 тетради.Сколько тетрадей было куплено если пачек по 45 тетрадей получается на 1 больше?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим количество тетрадей как \( x \).
Согласно условию, если тетради сложить в пачки по 45 штук, то останется одна лишняя тетрадь. Это можно записать в виде равенства:
\[ x \equiv 1 \, (\text{mod} \, 45) \] Это означает, что \( x = 45k + 1 \), где \( k \) – количество пачек по 45 тетрадей.
Также сказано, что если сложить тетради в пачки по 50 штук, то не хватает 4 тетрадей для полной пачки. Это записывается как:
\[ x \equiv -4 \, (\text{mod} \, 50) \] Это можно переписать в более удобной форме:
\[ x \equiv 46 \, (\text{mod} \, 50) \]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( x = 45k + 1 \)
- \( x \equiv 46 \, (\text{mod} \, 50) \)
Мы можем подставить первое уравнение во второе. То есть, подставим \( x \) из первого уравнения во второе:
\[ 45k + 1 \equiv 46 \, (\text{mod} \, 50) \]
Упростим это уравнение:
\[ 45k \equiv 45 \, (\text{mod} \, 50) \]
Теперь, разделив обе стороны на 5 (что возможно, так как 5 и 50 делятся на 5), получаем:
\[ 9k \equiv 9 \, (\text{mod} \, 10) \]
Эта congruence также может быть переписана как:
\[ 9k \equiv 9 \, (\text{mod} \, 10) \]
А это означает, что \( k \equiv 1 \, (\text{mod} \, 10) \), то есть \( k = 10m + 1 \) для некоторого целого числа \( m \).
Теперь подставим это значение \( k \) обратно в первое уравнение:
\[ x = 45(10m + 1) + 1 = 450m + 45 + 1 = 450m + 46 \]
Для того чтобы определить количество тетрадей, нам нужно, чтобы \( x \) было положительным. Начнем с \( m = 0 \):
\[ x = 46 \]
Теперь проверим условия задачи для \( m = 0 \):
- Если 46 поделить на 45, то остается 1 (условие выполняется).
- Если 46 поделить на 50, то не хватает 4 (условие тоже выполняется).
Теперь проверим для \( m = 1 \):
\[ x = 450 + 46 = 496 \]
Для \( x = 496 \):
- Делим на 45: \( 496 \div 45 = 11 \) (остаток 1, условие выполняется).
- Делим на 50: \( 496 \div 50 = 9 \) (остаток 46, не хватает 4), условие выполняется.
Таким образом, верно:
\[ \text{Количество купленных тетрадей может составлять } 46 \text{ или } 496. \]
Следовательно, на экзамен было закуплено 46 или 496 тетрадей.
