Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2e1-e2, 4e1-5e2, e1 иe2 - единичные векторы,угол между которыми равен 45 градусам

Для вычисления площади параллелограмма, образованного двумя векторами, можно использовать формулу:

\[ S = | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | \]

где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - это векторы, которые служат сторонами параллелограмма, а \( \times \) обозначает векторное произведение.

В данной задаче у нас есть диагонали параллелограмма, которые заданы векторами \( \mathbf{d_1} = 2\mathbf{e_1} - \mathbf{e_2} \) и \( \mathbf{d_2} = 4\mathbf{e_1} - 5\mathbf{e_2} \).

Чтобы получить векторы, образующие стороны параллелограмма, воспользуемся свойством, что стороны \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) можно выразить через диагонали следующим образом:

\[ \mathbf{u} = \frac{1}{2}(\mathbf{d_1} + \mathbf{d_2}), \] \[ \mathbf{v} = \frac{1}{2}(\mathbf{d_1} - \mathbf{d_2}). \]

Теперь подставим значения векторов:

\[ \mathbf{u} = \frac{1}{2} \left( (2\mathbf{e_1} - \mathbf{e_2}) + (4\mathbf{e_1} - 5\mathbf{e_2}) \right) = \frac{1}{2} \left( 6\mathbf{e_1} - 6\mathbf{e_2} \right) = 3\mathbf{e_1} - 3\mathbf{e_2}, \]

\[ \mathbf{v} = \frac{1}{2} \left( (2\mathbf{e_1} - \mathbf{e_2}) - (4\mathbf{e_1} - 5\mathbf{e_2}) \right) = \frac{1}{2} \left( -2\mathbf{e_1} + 4\mathbf{e_2} \right) = -\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2}. \]

Теперь найдем векторное произведение \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \):

При расчете площади нам нужно использовать формулу:

\[ S = |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |(3\mathbf{e_1} - 3\mathbf{e_2}) \times (-\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2})|. \]

Векторное произведение можно вычислить по формуле:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = | \mathbf{a} | | \mathbf{b} | \sin(\theta) \hat{\mathbf{n}}, \]

где \( \theta \) - угол между векторами. Здесь угол \( \theta = 45^\circ \), и тогда \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Теперь найдем длины векторов \( |\mathbf{u}| \) и \( |\mathbf{v}| \):

\[ |\mathbf{u}| = \sqrt{(3^2 + (-3)^2)} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}, \] \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}. \]

Теперь, подставив значения в площадь:

\[ S = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \sin(45^\circ) = (3\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5}. \]

Таким образом, площадь параллелограмма равна \( 3\sqrt{5} \) квадратных единиц.