Сколько единиц в двоичной записи числа 2^2014-4^650-38
Чтобы найти количество единиц в двоичной записи числа \(2^{2014} - 4^{650} - 38\), начнём с преобразований.
Сначала заметим, что \(4^{650}\) можно представить как \((2^2)^{650} = 2^{1300}\). Таким образом, выражение можно переписать:
\[ 2^{2014} - 4^{650} - 38 = 2^{2014} - 2^{1300} - 38. \]
Теперь, чтобы упрощать дальнейшие вычисления, рассмотрим общее выражение \(x = 2^{2014} - 2^{1300}\). Мы можем представить его как разность:
\[ x = 2^{1300}(2^{714} - 1). \]
Теперь нужно понять, сколько единиц в двоичной записи выражения \(x - 38\).
Количество единиц в \(2^{1300}\) – в его двоичной записи будет ровно одна единица (это 1, за которой следуют 1300 нулей).
Количество единиц в \(2^{714} - 1\) – это будет число, в двоичной записи которого будет 714 единиц (поскольку \(2^{714}\) - это 1, за которым следуют 714 нулей, а вычитание 1 превращает все нули в единицы).
Теперь нужно обратить внимание на \(x = 2^{1300} \cdot (2^{714} - 1)\). Здесь 2^{1300} добавляет одну единицу, а \(2^{714} - 1\) добавляет 714 единиц.
Теперь, подходя к полному выражению, вычтем 38. Двоячная запись числа 38:
\[ 38_{10} = 100110_2. \]
Эта запись содержит 3 единицы.
Итак, в количестве единиц в нашей формуле:
- \(1\) (из \(2^{1300}\)),
- \(714\) (из \(2^{714} - 1\)),
- \(3\) (из 38).
Теперь мы можем сложить это количество:
\[ 1 + 714 - 3 = 712. \]
Таким образом, количество единиц в двоичной записи числа \(2^{2014} - 4^{650} - 38\) равно 712.
