Первообразная f(x)=³√x-1

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = \sqrt[3]{x} - 1 \), мы будем интегрировать её.

Первым шагом, мы перепишем функцию в удобной форме для интегрирования:

\[ f(x) = x^{1/3} - 1 \]

Теперь мы можем интегрировать каждую часть по отдельности. Интеграл суммы равен сумме интегралов:

\[ \int f(x) \, dx = \int (x^{1/3} - 1) \, dx \]

Мы можем разбить это на два интеграла:

\[ \int x^{1/3} \, dx - \int 1 \, dx \]

Теперь найдем каждый из интегралов. Для интеграла \( \int x^{n} \, dx \), где \( n \neq -1 \), применяется следующая формула:

\[ \int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

Применим это к каждому из интегралов:

1. Для \( \int x^{1/3} \, dx \):

\[ \int x^{1/3} \, dx = \frac{x^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} + C_1 = \frac{x^{4/3}}{4/3} + C_1 = \frac{3}{4} x^{4/3} + C_1 \]

2. Для \( \int 1 \, dx \):

\[ \int 1 \, dx = x + C_2 \]

Теперь объединим результаты:

\[ \int f(x) \, dx = \frac{3}{4} x^{4/3} - x + C \]

где \( C = C_1 + C_2 \) — произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = \sqrt[3]{x} - 1 \) равна:

\[ F(x) = \frac{3}{4} x^{4/3} - x + C \]