В доске записаны все такие натуральные числа от 3 до 2-23 включительно, которые делятся на 4 с остатком 3 между каждую минуту, Боря стирает какие-то 2 из написанных чисел вместо них записывает их сумму, уменьшенную на 2. в конце концов на доске остаётся 1 число, каким оно может быть.

Question 1

Задача Задача №2097540

А

Аноним

05 ноября 2024 10:44 · публичный вопрос

А

Аноним 05 ноября 2024 10:44

В доске записаны все такие натуральные числа от 3 до 2-23 включительно, которые делятся на 4 с остатком 3 между каждую минуту, Боря стирает какие-то 2 из написанных чисел вместо них записывает их сумму, уменьшенную на 2. в конце концов на доске остаётся 1 число, каким оно может быть.

Answer

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.

Во-первых, определим, какие натуральные числа от 3 до \( 2^{23} \) включительно делятся на 4 с остатком 3. Это числа можно представить в форме \( 4k + 3 \), где \( k \) – это натуральное число. Для находящегося диапазона \( 3 \leq n \leq 2^{23} \) такие числа будут:

Первое число: 3 (при \( k = 0 \))
Последнее число: \( 2^{23} - 1 \) (это число \( 2^{23} - 1 \) делится на 4 с остатком 3)

Теперь найдем количество чисел вида \( 4k + 3 \) в заданном диапазоне. Наименьшее значение \( k \) — 0, а наибольшее значение \( k \) можно найти так, чтобы \( 4k + 3 \leq 2^{23} \):

\[ 4k \leq 2^{23} - 3 \] \[ k \leq \frac{2^{23} - 3}{4} = 2^{21} - 0.75 \]

Таким образом, максимальное целое значение \( k \) равно \( 2^{21} - 1 \). Значит, возможные значения \( k \) варьируются от 0 до \( 2^{21} - 1 \), всего таких значений будет \( 2^{21} \).

Теперь рассмотрим процесс, в котором Боря стирает два числа и записывает их сумму, уменьшенную на 2. При каждом таком шаге количество чисел уменьшается на 1. В итоге, начиная с \( 2^{21} \) чисел, после всех операций должно остаться лишь одно число.

Каждый раз, когда Боря выполняет операцию, сумма двух чисел, которые он удаляет, остается четным числом, а уменьшенная на 2 также остается четным числом (сумма двух нечетных чисел - четное число, четное число минус 2 остается четным). Поэтому, как бы Боря ни действовал, конечное число на доске будет четным.

Теперь важно определить, какое четное число может оставаться в конце. Поскольку изначально все числа имеют вид \( 4k + 3 \) (то есть нечетные), каждую операцию Боря выполняет, он будет вести к созданию нового четного числа.

В результате, единственно возможным конечным числом, если все операции были выполнены правильно, будет число, равное 2. Это наиболее вероятное значение, к которому могут прийти в данной ситуации.

Таким образом, на оставшейся доске Бори в конце окажется число 2.

Question 2

в доске записаны все такие натуральные числа от 3 до 2-23 включительно, которые делятся на 4 с остатком 3 между каждую минуту, Боря стирает какие-то 2 из написанных чисел вместо них записывает их сумму, уменьшенную на 2. в конце концов на доске остаётся 1 число, каким оно может быть.

Answer

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом. Во-первых, определим, какие натуральные числа от 3 до \( 2^{23} \) включительно делятся на 4 с остатком 3. Это числа можно представить в форме \( 4k + 3 \), где \( k \) – это натуральное число. Для находящегося диапазона \( 3 \leq n \leq 2^{23} \) такие числа будут: - Первое число: 3 (при \( k = 0 \)) - Последнее число: \( 2^{23} - 1 \) (это число \( 2^{23} - 1 \) делится на 4 с остатком 3) Теперь найдем количество чисел вида \( 4k + 3 \) в заданном диапазоне. Наименьшее значение \( k \) — 0, а наибольшее значение \( k \) можно найти так, чтобы \( 4k + 3 \leq 2^{23} \): \[ 4k \leq 2^{23} - 3 \] \[ k \leq \frac{2^{23} - 3}{4} = 2^{21} - 0.75 \] Таким образом, максимальное целое значение \( k \) равно \( 2^{21} - 1 \). Значит, возможные значения \( k \) варьируются от 0 до \( 2^{21} - 1 \), всего таких значений будет \( 2^{21} \). Теперь рассмотрим процесс, в котором Боря стирает два числа и записывает их сумму, уменьшенную на 2. При каждом таком шаге количество чисел уменьшается на 1. В итоге, начиная с \( 2^{21} \) чисел, после всех операций должно остаться лишь одно число. Каждый раз, когда Боря выполняет операцию, сумма двух чисел, которые он удаляет, остается четным числом, а уменьшенная на 2 также остается четным числом (сумма двух нечетных чисел - четное число, четное число минус 2 остается четным). Поэтому, как бы Боря ни действовал, конечное число на доске будет четным. Теперь важно определить, какое четное число может оставаться в конце. Поскольку изначально все числа имеют вид \( 4k + 3 \) (то есть нечетные), каждую операцию Боря выполняет, он будет вести к созданию нового четного числа. В результате, единственно возможным конечным числом, если все операции были выполнены правильно, будет число, равное 2. Это наиболее вероятное значение, к которому могут прийти в данной ситуации. Таким образом, на оставшейся доске Бори в конце окажется число 2.