Найти радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 5 см, 9 см, 11 см.

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник, можно использовать формулу:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где \( S \) — площадь треугольника, а \( p \) — полупериметр треугольника.

1. Сначала найдем полупериметр:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} \]

В нашем случае стороны треугольника равны \( a = 5 \) см, \( b = 9 \) см, \( c = 11 \) см.

\[ p = \frac{5 + 9 + 11}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 \text{ см} \]

2. Теперь найдем площадь треугольника. Для этого можно использовать формулу Герона:

\[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \]

Подставим значения:

\[ S = \sqrt{12.5(12.5 - 5)(12.5 - 9)(12.5 - 11)} \] \[ = \sqrt{12.5 \times 7.5 \times 3.5 \times 1.5} \]

Теперь вычислим это значение. Сначала вычислим значения в скобках:

\[ 12.5 - 5 = 7.5 \] \[ 12.5 - 9 = 3.5 \] \[ 12.5 - 11 = 1.5 \]

Теперь подставим:

\[ S = \sqrt{12.5 \times 7.5 \times 3.5 \times 1.5} \]

Выполним умножение:

1. \( 12.5 \times 7.5 = 93.75 \)
2. \( 3.5 \times 1.5 = 5.25 \)
3. \( 93.75 \times 5.25 = 492.1875 \)

Теперь найдём квадратный корень:

\[ S \approx \sqrt{492.1875} \approx 22.17 \text{ см}^2 \]

3. Теперь подставим площадь в формулу для радиуса:

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{22.17}{12.5} \approx 1.77 \text{ см} \]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 5 см, 9 см и 11 см, составляет примерно 1.77 см.