В городе Островодске обнаружили источник целебной минеральной воды. Городские власти тут же объявили его муниципальной собственностью и открыли неподалёку курорт. Теперь перед…
В городе Островодске обнаружили источник целебной минеральной воды. Городские власти тут же объявили его муниципальной собственностью и открыли неподалёку курорт. Теперь перед городскими властями стоит сложный выбор: нужно установить такую цену, чтобы получать от эксплуатации источника максимальную прибыль. Издержки на постройку курорта не зависят от итогового числа гостей и составляют 400000 рублей. А вот функция спроса на услуги курорта каждый месяц меняется: «сарафанное радио» - лучшее рекламное агентство, поэтому чем больше людей посетили курорт раньше, тем больше людей посетят его в новом сезоне. Функция спроса на услуги курорта, таким образом, имеет вид: Qd = 1000 + N - 2Р, где N - это общая численность гостей курорта за все предыдущие сезоны. Каждый новый сезон городские власти устанавливают новую цену путевки. 1 вопрос: В первый сезон после открытия курорта цену путёвки устанавливал начальник городского департамента здравоохранения - человек малообщительный, а потому не знающий ничего • работе фурафанного радио. Не учитывая соответствующей компоненты функции спроса, он установил цену, максимизирующую (по его мнению) выручку курорта. Однако со второго сезона ценообразованием стали заведовать чиновники из департамента туризма, уже осведомлённые о точном виде функции спроса. Какую максимальную прибыль за два сезона вместе взятые сможет получить курорт, если они установят оптимальную цену? 2 вопрос: Какую максимальную прибыль мог бы получить островодский курорт, если бы устанавливал цену в первом сезоне с учётом реальной функции спроса на путёвки?
Для решения этих вопросов, будем использовать имеющуюся функцию спроса и параметры затрат.
Функция спроса: \[ Q_d = 1000 + N - 2P \] где \( Q_d \) – количество гостей, \( N \) – общее количество гостей за предыдущие сезоны, \( P \) – цена путевки.
Издержки на постройку курорта: Общие фиксированные издержки составляют 400000 рублей.
Для первого сезона:
- Начальник департамента здравоохранения устанавливает цену, максимизирующую выручку, но без учета сарафанного радио. Предположим, что в первый сезон общее число гостей \( N = 0 \), так как курорт только открылся. Таким образом, функция спроса упростится до: \[ Q_d = 1000 - 2P \]
Текущую выручку \( R \) можно записать как: \[ R = P \times Q_d = P \times (1000 - 2P) = 1000P - 2P^2 \] Максимизируем \( R \) по \( P \): \[ \frac{dR}{dP} = 1000 - 4P \] Приравняем производную к нулю, чтобы найти максимальную выручку: \[ 1000 - 4P = 0 \implies P = 250 \] Подставим \( P = 250 \) в функцию спроса \( Q_d \): \[ Q_d = 1000 - 2 \times 250 = 500 \] Таким образом, выручка: \[ R = 250 \times 500 = 125000 \] Прибыль \( \pi \) за первый сезон будет: \[ \pi = R - \text{издержки} = 125000 - 400000 = -275000 \]
Теперь переходим ко второму сезону, где \( N = 500 \): \[ Q_d = 1000 + 500 - 2P \] \[ Q_d = 1500 - 2P \]
Максимизируем выручку: \[ R = P \times (1500 - 2P) = 1500P - 2P^2 \] \[ \frac{dR}{dP} = 1500 - 4P \] Приравняем к нулю: \[ 1500 - 4P = 0 \implies P = 375 \] Подставим \( P = 375 \): \[ Q_d = 1500 - 2 \times 375 = 750 \] Выручка за второй сезон: \[ R = 375 \times 750 = 281250 \] Прибыль во втором сезоне: \[ \pi = 281250 - 400000 = -118750 \]
Теперь найдем общую прибыль за два сезона: \[ \text{Общая прибыль} = -275000 - 118750 = -393750 \]
Ответ на 1 вопрос: Курорт получит общую прибыль в размере -393750 рублей (убыток).
Теперь для 2 вопроса:
Если начальник департамента здравоохранения в первом сезоне учитывал бы реальную функцию спроса. Снова анализируем: \[ Q_d = 1000 - 2P \] Однако, уже в первом сезоне \( N = 0 \) остается, так что: \[ Q_d = 1000 - 2P \]
Максимизируем с точки зрения всех возможных позиций для \( P \): \[ R = P \times (1000 - 2P) = 1000P - 2P^2 \] Следовательно: \[ \frac{dR}{dP} = 1000 - 4P \] Смаксимизируем аналогично и получим: \[ P = 250; \quad Q_d = 500; \quad R = 125000 \]
Прибыль за первый сезон: \[ \pi_1 = 125000 - 400000 = -275000 \]
Для второго сезона: \[ N = 500 \implies Q_d = 1000 + 500 - 2P = 1500 - 2P \] Максимизируем: \[ R = 1500P - 2P^2 \] \[ \frac{dR}{dP} = 1500 - 4P \] \[ P = 375; \quad Q_d = 750; \quad R = 281250 \] Прибыль за второй сезон: \[ \pi_2 = 281250 - 400000 = -118750 \]
Общая прибыль: \[ \text{Общая прибыль} = -275000 - 118750 = -393750 \]
Ответ на 2 вопрос: Если бы цена была установлена с учетом реальной функции спроса, курорт по-прежнему получил бы общую прибыль в размере -393750 рублей (убыток).
