В городе Островодске обнаружили источник целебной минеральной воды. Городские власти тут же объявили его муниципальной собственностью и открыли неподалёку курорт. Теперь перед…
В городе Островодске обнаружили источник целебной минеральной воды. Городские власти тут же объявили его муниципальной собственностью и открыли неподалёку курорт. Теперь перед городскими властями стоит сложный выбор: нужно установить такую цену, чтобы получать от эксплуатации источника максимальную прибыль. Издержки на постройку курорта не зависят от итогового числа гостей и составляют 400000 рублей. А вот функция спроса на услуги курорта каждый месяц меняется: «сарафанное радио» - лучшее рекламное агентство, поэтому чем больше людей посетили курорт раньше, тем больше людей посетят его в новом сезоне. Функция спроса на услуги курорта, таким образом, имеет вид: Qd = 1000 + N - 2Р, где N - это общая численность гостей курорта за все предыдущие сезоны. Каждый новый сезон городские власти устанавливают новую цену путевки. 1 вопрос: В первый сезон после открытия курорта цену путёвки устанавливал начальник городского департамента здравоохранения - человек малообщительный, а потому не знающий ничего • работе фурафанного радио. Не учитывая соответствующей компоненты функции спроса, он установил цену, максимизирующую (по его мнению) выручку курорта. Однако со второго сезона ценообразованием стали заведовать чиновники из департамента туризма, уже осведомлённые о точном виде функции спроса. Какую максимальную прибыль за два сезона вместе взятые сможет получить курорт, если они установят оптимальную цену?
Чтобы определить максимальную прибыль курорта за два сезона, необходимо рассмотреть функции спроса и соответствующим образом рассчитать выручку и прибыль.
Функция спроса: \[ Q_d = 1000 + N - 2P \] где \( N \) — общее количество гостей за предыдущие сезоны, а \( P \) — цена путевки.
Издержки: Постоянные издержки (строительство курорта) составляют 400000 рублей, которые не зависят от количества гостей.
Первый сезон
Предположим, что в первом сезоне цена путевки \( P_1 \) установлена так, чтобы максимизировать выручку, без учёта влияния «сарафанного радио». Чтобы сделать это, необходимо максимизировать выручку \( R \): \[ R = P_1 \cdot Q_1 \] Где \( Q_1 = Q_d \) при \( N=0 \): \[ Q_1 = 1000 - 2P_1 \]
Таким образом, выручка: \[ R = P_1 (1000 - 2P_1) = 1000P_1 - 2P_1^2 \]
Чтобы найти максимальную выручку, нужно взять производную по \( P_1 \) и приравнять её к нулю: \[ \frac{dR}{dP_1} = 1000 - 4P_1 = 0 \implies P_1 = 250 \]
Теперь подставим \( P_1 \) назад в функцию спроса: \[ Q_1 = 1000 - 2 \times 250 = 500 \]
Выручка в первом сезоне: \[ R_1 = 250 \times 500 = 125000 \]
Прибыль в первом сезоне: \[ \Pi_1 = R_1 - \text{издержки} = 125000 - 400000 = -275000 \text{ (убыток)} \]
Второй сезон
На второй сезон общее количество гостей \( N \) равно количеству гостей первого сезона: \[ N = 500 \]
Теперь функция спроса: \[ Q_d = 1000 + 500 - 2P_2 = 1500 - 2P_2 \]
Оптимизируем выручку: \[ R = P_2 \cdot Q_d = P_2 (1500 - 2P_2) = 1500P_2 - 2P_2^2 \]
Находим производную и приравниваем к нулю: \[ \frac{dR}{dP_2} = 1500 - 4P_2 = 0 \implies P_2 = 375 \]
Теперь подставим \( P_2 \) обратно в функцию спроса: \[ Q_2 = 1500 - 2 \times 375 = 750 \]
Выручка во втором сезоне: \[ R_2 = 375 \times 750 = 281250 \]
Прибыль во втором сезоне: \[ \Pi_2 = R_2 - \text{издержки} = 281250 - 400000 = -118750 \text{ (убыток)} \]
Общая прибыль за два сезона
Общая прибыль: \[ \Pi_{\text{total}} = \Pi_1 + \Pi_2 = -275000 - 118750 = -393750 \]
Ответ
Курорт в итоге получит общие убытки в размере 393750 рублей за два сезона, если прежние чиновники не будут корректировать цену на основе информации о спросе.
