В одном провинциальном посёлке на рынке мёда сложилась дуополия: предложение на нём предъявляют две пасеки - деда Алексея и деда Савелия. Обратная функция спроса на мёд имеет вид…
В одном провинциальном посёлке на рынке мёда сложилась дуополия: предложение на нём предъявляют две пасеки - деда Алексея и деда Савелия. Обратная функция спроса на мёд имеет вид Pd = 150 - Q (где количество мёда измеряется в литрах, цена - в рублях за литр). Издержки деда Алексея имеют вид ТС1 = 30Q1, а издержки деда Савелия - TC2 = 30Q2. Дед Алексей имеет в распоряжении только два бочонка объёмом 30 и 40 литров соответственно, а дед Савелий - два бочонка 40 и 60 литров. При этом каждый из них может выставить на прилавок только одну из двух ёмкостей (соответственно, обоим пасечникам доступно ровно по два объёма продаж). 1 вопрос: Пасечники продают мёд на еженедельной ярмарке, которая начинается каждую среду в 8 утра. Однако дед Алексей - большой любитель вздремнуть подольше, поэтому на ярмарку он является только к половине девятого. Как следствие, дед Савелий первым выбирает свой объём продаж, а дед Алексей вынужден делать это вторым (будем считать, что формирование рыночной цены на мёд и начало торговли происходят только после того, как оба старика выбирают объёмы продаж). Исходя из этого, определите, какую максимальную прибыль (в рублях) может получить дед Савелий с учётом рационального поведения деда Алексея. 2 вопрос: Глава поселковой администрации принял решение перенести начало ярмарки на 11 часов. Теперь дед Алексей может являться на неё без опозданий; однако дед Савелий, живущий в соседней деревне, теперь вынужден дольше дожидаться своего автобуса, поэтому теперь уже дед Алексей имеет возможность выбрать свой объём продаж первым. Пользуясь этой информацией, определите, какую максимальную прибыль может теперь получить дед Алексей, если дед Савелий максимизирует свою прибыль при любом выбранном дедом Алексеем объёме производства.
Чтобы разобраться в данной задаче, давайте сначала определим основные параметры и функции спроса/предложения.
Функция спроса на мёд задаётся равенством:
\( P_d = 150 - Q \)
где \( Q = Q_1 + Q_2 \) - общее количество мёда в литрах, предлагаемое двумя пасечниками (дедом Алексеем и дедом Савелием).Издержки для каждого из них:
- Для деда Алексея: \( TC_1 = 30Q_1 \)
- Для деда Савелия: \( TC_2 = 30Q_2 \)
Прибыль каждого из них может быть подсчитана как:
\( \pi_i = P \cdot Q_i - TC_i \)
Подставим в формулу цену из функции спроса. Для деда Алексея это будет:
\( \pi_1 = (150 - (Q_1 + Q_2)) Q_1 - 30Q_1 \)
а для деда Савелия:
\( \pi_2 = (150 - (Q_1 + Q_2)) Q_2 - 30Q_2 \)
Теперь перейдём к анализу ситуации по порядку.
1 вопрос: Максимальная прибыль деда Савелия
Дед Савелий выбирает первый объём продаж. У него есть два варианта: 40 литров и 60 литров.
Если дед Савелий выберет 40 литров (\( Q_2 = 40 \)), то дед Алексей сможет выбрать 30 или 40 литров.
Если дед Алексей выберет 30 литров (\( Q_1 = 30 \)), то общее количество \( Q = 70 \), и цена будет:
\( P = 150 - 70 = 80 \).
Прибыль деда Савелия:
\( \pi_2 = 80 \cdot 40 - 30 \cdot 40 = 3200 - 1200 = 2000 \) рублей.Если дед Алексей выберет 40 литров (\( Q_1 = 40 \)), то общее количество \( Q = 80 \), и цена будет:
\( P = 150 - 80 = 70 \).
Прибыль деда Савелия:
\( \pi_2 = 70 \cdot 40 - 30 \cdot 40 = 2800 - 1200 = 1600 \) рублей.
Если дед Савелий выберет 60 литров (\( Q_2 = 60 \)), дед Алексей сможет выбрать только 30 литров.
- В этом случае \( Q = 90 \), и цена:
\( P = 150 - 90 = 60 \).
Прибыль деда Савелия:
\( \pi_2 = 60 \cdot 60 - 30 \cdot 60 = 3600 - 1800 = 1800 \) рублей.
- В этом случае \( Q = 90 \), и цена:
Таким образом, максимальная прибыль деда Савелия (выбирая 40 литров и при оптимальном ответе деда Алексея, который выберет 30 литров) составит 2000 рублей.
2 вопрос: Максимальная прибыль деда Алексея
Теперь дед Алексей выбирает первым. У него также есть два варианта: 30 литров или 40 литров.
Если дед Алексей выберет 30 литров (\( Q_1 = 30 \)), то дед Савелий выберет 40 литров или 60 литров.
Если дед Савелий выберет 40 литров (\( Q_2 = 40 \)), общее количество \( Q = 70 \), и цена:
\( P = 80 \).
Прибыль деда Алексея:
\( \pi_1 = 80 \cdot 30 - 30 \cdot 30 = 2400 - 900 = 1500 \) рублей.Если дед Савелий выберет 60 литров (\( Q_2 = 60 \)), \( Q = 90 \), цена:
\( P = 60 \).
Прибыль деда Алексея:
\( \pi_1 = 60 \cdot 30 - 30 \cdot 30 = 1800 - 900 = 900 \) рублей.
Если дед Алексей выберет 40 литров (\( Q_1 = 40 \)), дед Савелий сможет выбрать только 40 литров.
- В этом случае \( Q = 80 \), и цена:
\( P = 70 \).
Прибыль деда Алексея:
\( \pi_1 = 70 \cdot 40 - 30 \cdot 40 = 2800 - 1200 = 1600 \) рублей.
- В этом случае \( Q = 80 \), и цена:
Таким образом, максимальная прибыль деда Алексея (выбирая 40 литров, когда дед Савелий выбирает 40 литров) составит 1600 рублей.
Итог:
- Максимальная прибыль деда Савелия: 2000 рублей.
- Максимальная прибыль деда Алексея: 1600 рублей.
