Умывальников начальник и мочалок командир В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не…
Умывальников начальник и мочалок командир В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3. Умывальник Мойдодыр решил приобрести для личных нужд стиральную машину модели «Ч-1». У него имеются накопления, достаточные, чтобы сделать это прямо сейчас. Однако рациональный Мойдодыр стремится сэкономить на этой покупке, поэтому готов подождать некоторое время в ожидании снижения цен. Стиральные машины продаются в магазине бытовой техники, который покупает их у единственного поставщика. В этом месяце товары продавались без наценок, однако Мойдодыр знает, что каждый следующий месяц хозяин магазина будет повышать цены на всю продукцию на 5% относительно прошлого месяца. Также Мойдодыр знает, что через п месяцев (то есть после того, как цены на продукцию будут повышены п раз) на рынке появится новая модель стиральной машины, и с этого момента «Ч-1» станет продаваться со скидкой в 30%. Найдите максимальное п, при котором Мойдодыр примет решение дождаться скидки на стиральную машину.
Давайте обозначим первичную цену стиральной машины «Ч-1» как \( P \).
В первый месяц, цена остаётся \( P \).
С 2-го месяца, цена будет увеличиваться на 5% каждый месяц, что можно записать как:
- 2-й месяц: \( P \cdot 1.05 \)
- 3-й месяц: \( P \cdot 1.05^2 \)
- 4-й месяц: \( P \cdot 1.05^3 \)
- ...
- \( n \)-й месяц: \( P \cdot 1.05^{n-1} \)
После того как пройдёт \( p \) месяцев, на рынке появится новая модель, и с этого момента стиральная машина «Ч-1» будет продаваться со скидкой 30%. Поэтому цена после \( p \) месяцев станет:
\[ P \cdot 1.05^{p} \cdot 0.7 \]
Таким образом, Мойдодыр имеет смысл ждать, если:
\[ P \cdot 1.05^{p} \cdot 0.7 < P \cdot 1.05^{p-1} \]
Упрощая это неравенство, мы можем разделить обе стороны на \( P \) (так как \( P \) положительно) и получить:
\[ 1.05^{p} \cdot 0.7 < 1.05^{p-1} \]
Далее, разделим обе стороны на \( 1.05^{p-1} \):
\[ 0.7 \cdot 1.05 < 1 \]
Это приводит к:
\[ 0.7 \cdot 1.05 < 1 \implies 0.735 < 1 \]
Условие истинно.
Посмотрим, до какого значения \( p \) это будет также верным, рассматривая \( 1.05^{p} \cdot 0.7 < 1.05^{p-1} \) :
Дальше, будем упростить:
\[ 0.7 < \frac{1.05^{p}}{1.05^{p-1}} \implies 0.7 < 1.05 \]
Данное неравенство всегда верно. Далее, ищем \( p \):
Теперь мы ставим на границе, когда цена первой и второй будет равны:
\[ P \cdot 1.05^{p-1} = P \cdot 1.05^{p} \cdot 0.7 \]
\[ 1 = 1.05 \cdot 0.7 \]
Это неравенство не определяет конечного \( p \).
После \( p = 0 \) можно считать, что Мойдодыр решит ждать, когда превышает 1.
Максимальное значение \( p \), при котором он ещё решит ждать, можно покатать до 4 месяцев.
Ответ: 4.
