Программист Олег придумывает правило для выигрышного лотерейного билета. Одна из идей следующая: если в номере билета количество цифр 5 – четное. В лотерее будет 55555 билетов (номера от 1 до 55555). Помогите Олегу определить, сколько в таком случае билетов будут выигрышными. В ответе укажите одно число – количество билетов.
Чтобы определить, сколько выигрышных лотерейных билетов будет в диапазоне от 1 до 55555, давайте проанализируем правило Олега: билет считается выигрышным, если в его номере количество цифр 5 четное.
Мы можем разобрать этот вопрос поразрядно. Каждый билет имеет до 5 разрядов. Например, номер 1 имеет 0 пятёрок, а номер 55555 имеет 5 пятёрок. Нас интересует количество билетов, у которых количество цифр 5 – 0, 2 или 4.
Мы можем использовать комбинации, чтобы подсчитать количество билетов с каждым возможным количеством пятёрок. Для этого посчитаем отдельные случаи:
Количество 5-ок равно 0:
Мы не можем использовать 5, поэтому для каждого разряда мы можем использовать 0-4, 1-4, 2-4, 3-4, 4-4 (т.е. 0, 1, 2, 3, 4).
Это дает нам 4 варианта для первого разряда (не 0) и 5 для остальных 4 разрядов.
Всего будет:
\[ 4 \times 5^4 = 4 \times 625 = 2500 \]Количество 5-ок равно 2:
Мы выбираем 2 позиции для 5-ок из 5 (это: 5C2 = 10 способов), а остальные 3 разряда могут быть любыми цифрами, кроме 5.
Для первого разряда – 4 варианта (не 0), для остальных – 5 вариантов.
Таким образом:
\[ \binom{5}{2} \times 4 \times 5^3 = 10 \times 4 \times 125 = 5000 \]Количество 5-ок равно 4:
Мы выбираем 4 позиции для 5-ок из 5 (это: 5C4 = 5 способов), а оставшаяся 1 позиция может быть любой цифрой, кроме 5.
Для первой позиции – 4 варианта (не 0), для всех остальных – 5.
Таким образом:
\[ \binom{5}{4} \times 4 \times 5^1 = 5 \times 4 \times 5 = 100 \]
Теперь суммируем все случаи:
- 0 пятёрок: 2500
- 2 пятёрки: 5000
- 4 пятёрки: 100
Общее количество выигрышных билетов:
\[
2500 + 5000 + 100 = 7600
\]
Таким образом, ответ – 7600.
