Стиральные машины продаются в магазине бытовой техники, который покупает их у единственного поставщика. В этом месяце товары продавались без наценок, однако Мойдодыр знает, что…
Стиральные машины продаются в магазине бытовой техники, который покупает их у единственного поставщика. В этом месяце товары продавались без наценок, однако Мойдодыр знает, что каждый следующий месяц хозяин магазина будет повышать цены на всю продукцию на 5% относительно прошлого месяца. Также Мойдодыр знает, что через п месяцев (то есть после того, как цены на продукцию будут повышены п раз) на рынке появится новая модель стиральной машины, и с этого момента «Ч-1» станет продаваться со скидкой в 30%. Найдите максимальное п, при котором Мойдодыр примет решение дождаться скидки на стиральную машину.
Чтобы определить максимальное значение \( p \), при котором Мойдодыр решит дождаться скидки на стиральную машину, давайте проведем необходимые расчёты.
Начальная цена: Пусть начальная цена стиральной машины «Ч-1» равна \( P \).
Изменение цены с каждой наценкой: В следующем месяце цена увеличится на 5%. Поэтому после \( p \) месяцев цена будет рассчитываться по формуле: \[ P_p = P \times (1 + 0.05)^p \] Здесь \( P_p \) — это цена стиральной машины через \( p \) месяцев.
Скидка на новую модель: Как только новая модель появится на рынке, «Ч-1» будет продаваться со скидкой 30%. Это значит, что новая цена будет равна: \[ P_{\text{скидка}} = P_p \times (1 - 0.3) = P_p \times 0.7 \]
Сравнение цен: Мойдодыр решит дождаться скидки, если текущая цена через \( p \) месяцев будет выше цены со скидкой. Следовательно, мы ищем такое \( p \), при котором: \[ P_p > P \times 0.7 \] Подставляем выражение для \( P_p \): \[ P \times (1 + 0.05)^p > P \times 0.7 \] Убираем \( P \) (при условии, что \( P > 0 \)): \[ (1 + 0.05)^p > 0.7 \]
Решение неравенства: Теперь нужно решить неравенство: \[ (1.05)^p > 0.7 \] Чтобы найти максимальное \( p \), можем использовать логарифмирование: \[ p \cdot \log(1.05) > \log(0.7) \] Тогда: \[ p > \frac{\log(0.7)}{\log(1.05)} \]
Вычисляем логарифмы:
- \( \log(1.05) \approx 0.02119 \)
- \( \log(0.7) \approx -0.15536 \)
Подставляя значения: \[ p > \frac{-0.15536}{0.02119} \approx -7.33 \]
Поскольку \( p \) должно быть целым числом, мы можем взять \( p = 0 \), так как большее значение \( p \) будет означать, что Мойдодыр не сможет дождаться скидки, так как в это время цены будут расти.
Таким образом, максимальное \( p \), при котором Мойдодыр примет решение дождаться скидки, будет равно 0.
